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Comment montrer qu'une fonction ff positive est une densité de probabilité ?

En vérifiant que f≥0f \geq 0, ff continue sauf en un nombre fini de points, et ∫−∞+∞f(t) dt=1\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1

L'objectif

Montrer qu'une fonction f ⁣:R→Rf \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} est une densité de probabilité.

Le principe

Résultat admis du B.O. : toute fonction ff positive, continue sur R\mathbb{R} éventuellement privé d'un nombre fini de points, et telle que ∫−∞+∞f(t) dt=1\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1 est la densité d'une variable aléatoire.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que f(t)≥0f(t) \geq 0 pour tout t∈Rt \in \mathbb{R}, en distinguant éventuellement plusieurs intervalles.
  2. 2
    Je vérifie que ff est continue sur R\mathbb{R}, sauf éventuellement en un nombre fini de points que j'identifie.
  3. 3
    Je calcule ∫−∞+∞f(t) dt\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t via la relation de Chasles sur les intervalles où ff est non nulle, en justifiant la convergence des intégrales impropres.
  4. 4
    Si l'intégrale vaut 11, je conclus que ff est une densité de probabilité ; sinon, je peux éventuellement renormaliser ff par une constante.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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