Comment montrer qu'une fonction $f$ positive est une densité de probabilité ?

En vérifiant que $f \geq 0$ , $f$ continue sauf en un nombre fini de points, et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = 1$ si $t \in [0, 1]$ et $f(t) = 0$ sinon. Montrer que $f$ est une densité.

La méthode

1
Je vérifie que $f(t) \geq 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}$ , en distinguant éventuellement plusieurs intervalles.
2
Je vérifie que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ , sauf éventuellement en un nombre fini de points que j'identifie.
3
Je calcule $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ via la relation de Chasles sur les intervalles où $f$ est non nulle, en justifiant la convergence des intégrales impropres.
4
Si l'intégrale vaut $1$ , je conclus que $f$ est une densité de probabilité.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = 1$ si $t \in [0, 1]$ et $f(t) = 0$ sinon. Montrer que $f$ est une densité.

1

On a $f(t) = 1 \geq 0$ sur $[0, 1]$ et $f(t) = 0 \geq 0$ ailleurs, donc $f \geq 0$ sur $\mathbb{R}$ .

2

$f$ est constante par morceaux, donc continue sur $\mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ : elle est continue sauf en deux points.

3

On calcule $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_0^1 1\,\mathrm{d}t = 1$ .

4

L'intégrale vaut $1$ , donc $f$ est une densité (c'est la densité de la loi uniforme sur $[0, 1]$ ).

$f$ est une densité de probabilité (loi uniforme sur $[0, 1]$ ).

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Comment montrer qu'une fonction fff positive est une densité de probabilité ?

En vérifiant que f≥0f \geq 0f≥0, fff continue sauf en un nombre fini de points, et ∫−∞+∞f(t) dt=1\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1∫−∞+∞​f(t)dt=1

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment montrer qu'une fonction $f$ positive est une densité de probabilité ?

En vérifiant que $f \geq 0$ , $f$ continue sauf en un nombre fini de points, et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1$