Comment utiliser les intégrales… : En comparant à int_1^ +∞ dt t^alpha… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment utiliser les intégrales de Riemann $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ et $\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t$ comme références ?

En comparant à $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ (converge ssi $\alpha > 1$ ) ou à $\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t$ (converge)

Conclure rapidement sur la nature d'une intégrale en la rapportant à une intégrale de référence du cours.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la nature de $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^3}$ .

L'objectif

Conclure rapidement sur la nature d'une intégrale en la rapportant à une intégrale de référence du cours.

Le principe

Pour $a > 0$ , $\int_a^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ ; $\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t$ converge.

La méthode

1
J'identifie la borne d'impropreté : ici, l'intégrale est impropre en $+\infty$ , donc je m'intéresse au comportement de $f$ au voisinage de $+\infty$ .
2
Je reconnais la forme de référence : soit $f(t) = \frac{1}{t^\alpha}$ avec $\alpha$ identifié, soit $f(t) = e^{-t}$ (ou un multiple).
3
J'applique le critère : intégrale de Riemann en $+\infty$ convergente ssi $\alpha > 1$ , intégrale de l'exponentielle convergente, et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la nature de $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^3}$ .

Étape 1 —

J'identifie la borne d'impropreté : ici, l'intégrale est impropre en

+\infty

, donc je m'intéresse au comportement de

f

au voisinage de

+\infty

L'intégrale est impropre en $+\infty$ ; la fonction $t \mapsto \frac{1}{t^3}$ est continue sur $[1, +\infty[$ .

Étape 2 —

Je reconnais la forme de référence : soit

f(t) = \frac{1}{t^\alpha}

avec

\alpha

identifié, soit

f(t) = e^{-t}

(ou un multiple).

Je reconnais une intégrale de Riemann en $+\infty$ avec $\alpha = 3$ .

Étape 3 —

J'applique le critère : intégrale de Riemann en

+\infty

convergente ssi

\alpha > 1

, intégrale de l'exponentielle convergente, et je conclus.

Comme $\alpha = 3 > 1$ , l'intégrale converge.

$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^3}$ converge.

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Comment utiliser les intégrales de Riemann ∫1+∞dttα\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}∫1+∞​tαdt​ et ∫0+∞e−t dt\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t∫0+∞​e−tdt comme références ?

En comparant à ∫1+∞dttα\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}∫1+∞​tαdt​ (converge ssi α>1\alpha > 1α>1) ou à ∫0+∞e−t dt\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t∫0+∞​e−tdt (converge)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment utiliser les intégrales de Riemann $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ et $\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t$ comme références ?

En comparant à $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ (converge ssi $\alpha > 1$ ) ou à $\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t$ (converge)