Comment retrouver une densité $f_X$ à partir d'une fonction de répartition $F_X$ ? | MetMat

Comment retrouver une densité $f_X$ à partir d'une fonction de répartition $F_X$ ?

En dérivant $F_X$ là où elle est de classe $\mathcal{C}^1$ : $f_X(x) = F_X'(x)$

Obtenir une densité $f_X$ d'une variable aléatoire $X$ dont on connaît la fonction de répartition $F_X$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X$ de fonction de répartition $F_X(x) = 0$ si $x < 0$ , $F_X(x) = x$ si $x \in [0, 1]$ , $F_X(x) = 1$ si $x > 1$ . Déterminer une densité de $X$ .

L'objectif

Obtenir une densité $f_X$ d'une variable aléatoire $X$ dont on connaît la fonction de répartition $F_X$ .

Le principe

Résultat admis : si $X$ est à densité, $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ éventuellement privé d'un nombre fini de points, et en un tel point on a $F_X'(x) = f_X(x)$ ; ailleurs, on choisit librement la valeur de $f_X$ .

La méthode

1
Je vérifie d'abord que $F_X$ est bien la fonction de répartition d'une variable à densité : continuité sur $\mathbb{R}$ , croissance, $\lim_{-\infty} = 0$ , $\lim_{+\infty} = 1$ , et $\mathcal{C}^1$ par morceaux.
2
J'identifie l'ensemble fini $A$ des points où $F_X$ n'est pas dérivable (souvent les points de raccord).
3
Sur $\mathbb{R} \setminus A$ , je calcule $f_X(x) = F_X'(x)$ en dérivant chaque morceau de $F_X$ .
4
Aux points de $A$ , j'affecte une valeur arbitraire (souvent $0$ ou la valeur du raccord) et j'écris la densité $f_X$ sous forme de fonction définie par morceaux.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X$ de fonction de répartition $F_X(x) = 0$ si $x < 0$ , $F_X(x) = x$ si $x \in [0, 1]$ , $F_X(x) = 1$ si $x > 1$ . Déterminer une densité de $X$ .

Étape 1 —

Je vérifie d'abord que

F_X

est bien la fonction de répartition d'une variable à densité : continuité sur

\mathbb{R}

, croissance,

\lim_{-\infty} = 0

\lim_{+\infty} = 1

, et

\mathcal{C}^1

par morceaux.

$F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ , croissante, $\lim_{-\infty} F_X = 0$ , $\lim_{+\infty} F_X = 1$ , et $\mathcal{C}^1$ par morceaux : $X$ est bien à densité.

Étape 2 —

J'identifie l'ensemble fini

A

des points où

F_X

n'est pas dérivable (souvent les points de raccord).

$F_X$ n'est pas dérivable en $0$ ni en $1$ (raccords) : $A = \{0, 1\}$ , fini.

Étape 3 —

Sur

\mathbb{R} \setminus A

, je calcule

f_X(x) = F_X'(x)

en dérivant chaque morceau de

F_X

Sur $]-\infty, 0[$ : $F_X'(x) = 0$ . Sur $]0, 1[$ : $F_X'(x) = 1$ . Sur $]1, +\infty[$ : $F_X'(x) = 0$ .

Étape 4 —

Aux points de

A

, j'affecte une valeur arbitraire (souvent

0

ou la valeur du raccord) et j'écris la densité

f_X

sous forme de fonction définie par morceaux.

On pose $f_X(x) = 1$ sur $[0, 1]$ et $0$ ailleurs : c'est une densité de la loi uniforme sur $[0, 1]$ .

$f_X(x) = 1$ si $x \in [0, 1]$ , $f_X(x) = 0$ sinon.

Application guidée

Soit $X$ de fonction de répartition $F_X(x) = 0$ si $x < 0$ et $F_X(x) = 1 - \mathrm{e}^{-2x}$ si $x \geq 0$ . Déterminer une densité.

Application autonome 1

Soit $X$ de fonction de répartition $F_X(x) = 0$ si $x < 0$ , $F_X(x) = x^2$ si $x \in [0, 1]$ , $F_X(x) = 1$ si $x > 1$ . Déterminer une densité.

Application autonome 2

Soit $X$ de fonction de répartition $F_X(x) = 0$ si $x < 0$ , $F_X(x) = \sin(x)$ si $x \in [0, \pi/2]$ et $F_X(x) = 1$ si $x > \pi/2$ . Déterminer une densité de $X$ .

Application autonome 3

Soit $X$ de fonction de répartition $F_X(x) = 0$ si $x < 1$ et $F_X(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2}$ si $x \geq 1$ . Déterminer une densité de $X$ (loi de Pareto).

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En dérivant FXF_XFX​ là où elle est de classe C1\mathcal{C}^1C1 : fX(x)=FX′(x)f_X(x) = F_X'(x)fX​(x)=FX′​(x)

Pour comprendre, fais des exercices !

En dérivant $F_X$ là où elle est de classe $\mathcal{C}^1$ : $f_X(x) = F_X'(x)$