En appliquant l'algorithme du pivot de Gauss sur la matrice formée par les vecteurs

Déterminer le rang d'une famille de vecteurs en échelonnant la matrice de leurs coordonnées.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer le rang de la famille $((1, 2, 1), (2, 1, -1), (1, -1, -2))$ dans $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Déterminer le rang d'une famille de vecteurs en échelonnant la matrice de leurs coordonnées.

Le principe

Le rang d'une famille de vecteurs est égal au rang de la matrice de leurs coordonnées dans une base, c'est-à-dire au nombre de pivots non nuls obtenus après mise sous forme échelonnée par des opérations élémentaires (qui préservent le rang).

La méthode

1
Je place les coordonnées des vecteurs dans une base de référence, en colonnes (ou en lignes), pour former une matrice $A$ .
2
J'applique l'algorithme du pivot de Gauss : opérations $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ , $L_i \leftrightarrow L_j$ , $L_i \leftarrow \lambda L_i$ avec $\lambda \neq 0$ , pour échelonner $A$ .
3
Je compte le nombre $r$ de lignes (ou colonnes) non nulles dans la matrice échelonnée, qui est le nombre de pivots non nuls.
4
Je conclus : $\mathrm{rg}$ (famille) $= r$ .

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Exercice d'exemple

Calculer le rang de la famille $((1, 2, 1), (2, 1, -1), (1, -1, -2))$ dans $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

Je place les coordonnées des vecteurs dans une base de référence, en colonnes (ou en lignes), pour former une matrice

A

On place les coordonnées en colonnes : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

J'applique l'algorithme du pivot de Gauss : opérations

L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j

L_i \leftrightarrow L_j

L_i \leftarrow \lambda L_i

avec

\lambda \neq 0

, pour échelonner

A

$L_2 \leftarrow L_2 - 2 L_1$ donne $(0, -3, -3)$ ; $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ donne $(0, -3, -3)$ ; puis $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ donne $(0, 0, 0)$ .

Étape 3 —

Je compte le nombre

r

de lignes (ou colonnes) non nulles dans la matrice échelonnée, qui est le nombre de pivots non nuls.

La matrice échelonnée est $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ : $r = 2$ pivots non nuls.

Étape 4 —

Je conclus :

\mathrm{rg}

(famille)

= r

$\mathrm{rg}$ (famille) $= 2$ .

Rang $= 2$ .

Application guidée

Calculer le rang de la famille $((1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1), (1, -1, 1, -1))$ dans $\mathbb{R}^4$ .

Application autonome 1

Calculer le rang de la famille $(1 + X, X + X^2, 1 + X^2, 1 + X + X^2)$ dans $\mathbb{R}_2[X]$ .

Application autonome 2

Calculer le rang de la famille $((1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1))$ dans $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 3

Calculer le rang de la famille $((1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1))$ dans $\mathbb{R}^4$ .

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