Comment déterminer le rang d'une famille de vecteurs ?

En appliquant l'algorithme du pivot de Gauss sur la matrice formée par les vecteurs

L'objectif

Déterminer le rang d'une famille de vecteurs en échelonnant la matrice de leurs coordonnées.

Le principe

Le rang d'une famille de vecteurs est égal au rang de la matrice de leurs coordonnées dans une base, c'est-à-dire au nombre de pivots non nuls obtenus après mise sous forme échelonnée par des opérations élémentaires (qui préservent le rang).

La méthode

1
Je place les coordonnées des vecteurs dans une base de référence, en colonnes (ou en lignes), pour former une matrice $A$ .
2
J'applique l'algorithme du pivot de Gauss : opérations $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ , $L_i \leftrightarrow L_j$ , $L_i \leftarrow \lambda L_i$ avec $\lambda \neq 0$ , pour échelonner $A$ .
3
Je compte le nombre $r$ de lignes (ou colonnes) non nulles dans la matrice échelonnée, qui est le nombre de pivots non nuls.
4
Je conclus : $\mathrm{rg}$ (famille) $= r$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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