Comment étendre l'étude aux… : En découpant en deux intégrales en un… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment étendre l'étude aux intégrales sur $]-\infty, b]$ ou $]-\infty, +\infty[$ ?

En découpant en deux intégrales en un point $c$ et en étudiant chaque morceau séparément

Étudier la convergence et calculer la valeur d'une intégrale doublement impropre en se ramenant à deux intégrales simplement impropres.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la nature et la valeur de $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2} e^{-|t|}\,\mathrm{d}t$ (densité de Laplace).

L'objectif

Étudier la convergence et calculer la valeur d'une intégrale doublement impropre en se ramenant à deux intégrales simplement impropres.

Le principe

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge ssi pour un (donc tout) réel $c$ , $\int_{-\infty}^c f(t)\,\mathrm{d}t$ ET $\int_c^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ convergent ; sa valeur est alors la somme des deux.

La méthode

1
Je choisis un réel $c$ pratique (souvent $0$ ) où $f$ est définie, et je découpe $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^c f(t)\,\mathrm{d}t + \int_c^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ .
2
J'étudie séparément la nature de chacune des deux intégrales (impropre uniquement en $-\infty$ pour la première, en $+\infty$ pour la seconde) avec les techniques connues (définition, références, comparaison, valeur absolue).
3
Je conclus : l'intégrale globale converge si et seulement si les deux morceaux convergent ; en cas de convergence, je somme les deux valeurs pour obtenir le résultat.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la nature et la valeur de $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2} e^{-|t|}\,\mathrm{d}t$ (densité de Laplace).

Étape 1 —

Je choisis un réel

c

pratique (souvent

0

) où

f

est définie, et je découpe

\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^c f(t)\,\mathrm{d}t + \int_c^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t

Je choisis $c = 0$ : $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2} e^{-|t|}\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^0 \frac{1}{2} e^{t}\,\mathrm{d}t + \int_0^{+\infty} \frac{1}{2} e^{-t}\,\mathrm{d}t$ (car $|t| = -t$ sur $]-\infty, 0]$ et $|t| = t$ sur $[0, +\infty[$ ).

Étape 2 —

J'étudie séparément la nature de chacune des deux intégrales (impropre uniquement en

-\infty

pour la première, en

+\infty

pour la seconde) avec les techniques connues (définition, références, comparaison, valeur absolue).

Pour $\int_0^{+\infty} \frac{1}{2} e^{-t}\,\mathrm{d}t$ : intégrale de référence convergente, valeur $\frac{1}{2}$ . Pour $\int_{-\infty}^0 \frac{1}{2} e^{t}\,\mathrm{d}t$ : pour $x < 0$ , $\int_x^0 \frac{1}{2} e^{t}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}(1 - e^x) \to \frac{1}{2}$ quand $x \to -\infty$ , donc converge et vaut $\frac{1}{2}$ .

Étape 3 —

Je conclus : l'intégrale globale converge si et seulement si les deux morceaux convergent ; en cas de convergence, je somme les deux valeurs pour obtenir le résultat.

Les deux intégrales convergent, donc $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2} e^{-|t|}\,\mathrm{d}t$ converge et vaut $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ (cohérent avec une densité).

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2} e^{-|t|}\,\mathrm{d}t = 1$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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