Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ , $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ ou $\mathbb{R}_n[X]$ ?

Trois techniques standard pour reconnaître un sous-espace vectoriel : caractérisation directe, noyau/image d'une application linéaire, ou $\mathrm{Vect}$.

Choisissez une approche :

En vérifiant qu'elle est non vide et stable par combinaison linéaire
Caractérisation directe d'un sous-espace vectoriel par la non-vacuité et la stabilité par combinaison linéaire.
En la reconnaissant comme noyau ou image d'une application linéaire
Identifier $F$ à $\ker(f)$ ou $\mathrm{Im}(f)$ pour une application linéaire $f$ bien choisie, ce qui garantit immédiatement la structure de sous-espace vectoriel.
En la reconnaissant comme $\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)$
Identifier $F$ à l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs explicites, ce qui établit immédiatement la structure de sous-espace vectoriel.

Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de Rn\mathbb{R}^nRn, Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})Mn,p​(R) ou Rn[X]\mathbb{R}_n[X]Rn​[X] ?

Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ , $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ ou $\mathbb{R}_n[X]$ ?