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Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de Rn\mathbb{R}^n, Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) ou Rn[X]\mathbb{R}_n[X] ?

En la reconnaissant comme Vect(v1,…,vp)\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)

L'objectif

Prouver que FF est un sous-espace vectoriel en l'écrivant explicitement comme un Vect\mathrm{Vect}.

Le principe

Pour toute famille (v1,…,vp)(v_1, \ldots, v_p) de vecteurs d'un espace vectoriel EE, l'ensemble Vect(v1,…,vp)={λ1v1+⋯+λpvp∣(λ1,…,λp)∈Rp}\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p) = \{\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p \mid (\lambda_1, \ldots, \lambda_p) \in \mathbb{R}^p\} est un sous-espace vectoriel de EE.

La méthode
  1. 1
    Je paramètre les éléments de FF : à partir des équations qui définissent FF, j'exprime un vecteur générique en fonction de paramètres libres.
  2. 2
    Je factorise l'expression obtenue sous la forme λ1v1+⋯+λpvp\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p avec des vecteurs explicites v1,…,vpv_1, \ldots, v_p.
  3. 3
    J'écris F=Vect(v1,…,vp)F = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p) et j'invoque le théorème : un Vect\mathrm{Vect} est un sous-espace vectoriel.
  4. 4
    Je conclus que FF est un sous-espace vectoriel de l'espace de référence.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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