Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ ou $\mathbb{R}_n[X]$ ? | MetMat

Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ , $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ ou $\mathbb{R}_n[X]$ ?

En la reconnaissant comme $\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)$

Prouver que $F$ est un sous-espace vectoriel en l'écrivant explicitement comme un $\mathrm{Vect}$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $F = \{(x, y, x+y) \mid (x,y) \in \mathbb{R}^2\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Prouver que $F$ est un sous-espace vectoriel en l'écrivant explicitement comme un $\mathrm{Vect}$ .

Le principe

Pour toute famille $(v_1, \ldots, v_p)$ de vecteurs d'un espace vectoriel $E$ , l'ensemble $\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p) = \{\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p \mid (\lambda_1, \ldots, \lambda_p) \in \mathbb{R}^p\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

La méthode

1
Je paramètre les éléments de $F$ : à partir des équations qui définissent $F$ , j'exprime un vecteur générique en fonction de paramètres libres.
2
Je factorise l'expression obtenue sous la forme $\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p$ avec des vecteurs explicites $v_1, \ldots, v_p$ .
3
J'écris $F = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)$ et j'invoque le théorème : un $\mathrm{Vect}$ est un sous-espace vectoriel.
4
Je conclus que $F$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de référence.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $F = \{(x, y, x+y) \mid (x,y) \in \mathbb{R}^2\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

Je paramètre les éléments de

F

: à partir des équations qui définissent

F

, j'exprime un vecteur générique en fonction de paramètres libres.

Tout élément de $F$ s'écrit $(x, y, x+y)$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ libres.

Étape 2 —

Je factorise l'expression obtenue sous la forme

\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p

avec des vecteurs explicites

v_1, \ldots, v_p

On factorise : $(x, y, x+y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1)$ .

Étape 3 —

J'écris

F = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)

et j'invoque le théorème : un

\mathrm{Vect}

est un sous-espace vectoriel.

Donc $F = \mathrm{Vect}((1,0,1), (0,1,1))$ , qui est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 4 —

Je conclus que

F

est un sous-espace vectoriel de l'espace de référence.

$F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

$F = \mathrm{Vect}((1,0,1), (0,1,1))$ , sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ de dimension $2$ .

Application guidée

Montrer que $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - 2y + z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ via $\mathrm{Vect}$ .

Application autonome 1

Montrer que $F = \{P \in \mathbb{R}_2[X] \mid P(0) = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_2[X]$ .

Application autonome 2

Montrer que $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid 2x + y - z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 3

Montrer que $F = \{(a + b, a - b, 2a) \mid (a, b) \in \mathbb{R}^2\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En la reconnaissant comme Vect(v1,…,vp)\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)Vect(v1​,…,vp​)

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En la reconnaissant comme $\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)$