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Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de Rn\mathbb{R}^n, Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) ou Rn[X]\mathbb{R}_n[X] ?

En la reconnaissant comme noyau ou image d'une application linéaire

L'objectif

Prouver que FF est un sous-espace vectoriel sans calcul de stabilité, en l'écrivant comme noyau ou image d'une application linéaire.

Le principe

Si f:E→Gf : E \to G est linéaire, alors ker⁡(f)={x∈E∣f(x)=0G}\ker(f) = \{x \in E \mid f(x) = 0_G\} et Im(f)={f(x)∣x∈E}\mathrm{Im}(f) = \{f(x) \mid x \in E\} sont des sous-espaces vectoriels de EE et GG respectivement.

La méthode
  1. 1
    J'identifie une application ff entre deux espaces vectoriels de référence telle que F=ker⁡(f)F = \ker(f) (cas implicite : FF est défini par une équation f(x)=0f(x) = 0) ou F=Im(f)F = \mathrm{Im}(f) (cas explicite : FF est l'ensemble des valeurs).
  2. 2
    Je vérifie que ff est linéaire en utilisant f(λu+μv)=λf(u)+μf(v)f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v).
    Voir
  3. 3
    J'invoque le théorème : le noyau (ou l'image) d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel.
  4. 4
    Je conclus que FF est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée pertinent.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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