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Comment déterminer la loi du min ou du max de deux v.a. discrètes indépendantes ?

En passant par les fonctions de répartition : P(max⁡≤k)=P(X≤k) P(Y≤k)P(\max \leq k) = P(X \leq k)\, P(Y \leq k) et P(min⁡>k)=P(X>k) P(Y>k)P(\min > k) = P(X > k)\, P(Y > k)

L'objectif

Déterminer la loi de M=max⁡(X,Y)M = \max(X, Y) et de m=min⁡(X,Y)m = \min(X, Y) pour deux v.a. discrètes indépendantes.

Le principe

Si XX et YY sont indépendantes, alors {max⁡(X,Y)≤k}={X≤k}∩{Y≤k}\{\max(X, Y) \leq k\} = \{X \leq k\} \cap \{Y \leq k\} donne P(max⁡≤k)=P(X≤k) P(Y≤k)P(\max \leq k) = P(X \leq k)\, P(Y \leq k) ; et {min⁡(X,Y)>k}={X>k}∩{Y>k}\{\min(X, Y) > k\} = \{X > k\} \cap \{Y > k\} donne P(min⁡>k)=P(X>k) P(Y>k)P(\min > k) = P(X > k)\, P(Y > k).

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que XX et YY sont indépendantes (hypothèse essentielle de la méthode).
  2. 2
    Pour le maximum : pour tout kk, j'écris P(M≤k)=P([X≤k]∩[Y≤k])=P(X≤k) P(Y≤k)=FX(k) FY(k)P(M \leq k) = P([X \leq k] \cap [Y \leq k]) = P(X \leq k)\, P(Y \leq k) = F_X(k)\, F_Y(k) ; pour le minimum, j'écris P(m>k)=P(X>k) P(Y>k)P(m > k) = P(X > k)\, P(Y > k).
  3. 3
    Je passe aux probabilités élémentaires : P(M=k)=P(M≤k)−P(M≤k−1)P(M = k) = P(M \leq k) - P(M \leq k - 1) ; P(m=k)=P(m>k−1)−P(m>k)P(m = k) = P(m > k - 1) - P(m > k) (équivalent à P(m≥k)−P(m≥k+1)P(m \geq k) - P(m \geq k + 1)).
  4. 4
    Je vérifie que ∑kP(M=k)=1\sum_{k} P(M = k) = 1 et ∑kP(m=k)=1\sum_{k} P(m = k) = 1, et je reconnais éventuellement une loi usuelle (notamment géométrique pour min⁡\min de géométriques indépendantes).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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