Comment déterminer la loi du min… : En passant par les fonctions de… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment déterminer la loi du min ou du max de deux v.a. discrètes indépendantes ?

En passant par les fonctions de répartition : $P(\max \leq k) = P(X \leq k)\, P(Y \leq k)$ et $P(\min > k) = P(X > k)\, P(Y > k)$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance deux dés équilibrés indépendants. Soient $X$ et $Y$ les résultats. Déterminer la loi de $M = \max(X, Y)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X$ et $Y$ sont indépendantes (hypothèse essentielle de la méthode).
2
Pour le maximum : pour tout $k$ , j'écris $P(M \leq k) = P([X \leq k] \cap [Y \leq k]) = P(X \leq k)\, P(Y \leq k) = F_X(k)\, F_Y(k)$ ; pour le minimum, j'écris $P(m > k) = P(X > k)\, P(Y > k)$ .
3
Je passe aux probabilités élémentaires : $P(M = k) = P(M \leq k) - P(M \leq k - 1)$ ; $P(m = k) = P(m > k - 1) - P(m > k)$ (équivalent à $P(m \geq k) - P(m \geq k + 1)$ ).
4
Je vérifie que $\sum_{k} P(M = k) = 1$ et $\sum_{k} P(m = k) = 1$ , et je reconnais éventuellement une loi usuelle (notamment géométrique pour $\min$ de géométriques indépendantes).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On lance deux dés équilibrés indépendants. Soient $X$ et $Y$ les résultats. Déterminer la loi de $M = \max(X, Y)$ .

$X$ et $Y$ sont indépendantes (lancers séparés) et suivent la loi uniforme sur $\{1, \ldots, 6\}$ .

Pour $k \in \{1, \ldots, 6\}$ : $F_X(k) = F_Y(k) = \dfrac{k}{6}$ , donc $P(M \leq k) = \dfrac{k^2}{36}$ .

Pour $k \in \{1, \ldots, 6\}$ : $P(M = k) = \dfrac{k^2}{36} - \dfrac{(k - 1)^2}{36} = \dfrac{2k - 1}{36}$ .

On vérifie $\sum_{k = 1}^{6} \dfrac{2k - 1}{36} = \dfrac{1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11}{36} = 1$ , ce qui confirme la loi déjà obtenue par sommation directe.

$P(M = k) = \dfrac{2k - 1}{36}$ pour $k \in \{1, \ldots, 6\}$ .

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Comment déterminer la loi du min ou du max de deux v.a. discrètes indépendantes ?

En passant par les fonctions de répartition : P(max⁡≤k)=P(X≤k) P(Y≤k)P(\max \leq k) = P(X \leq k)\, P(Y \leq k)P(max≤k)=P(X≤k)P(Y≤k) et P(min⁡>k)=P(X>k) P(Y>k)P(\min > k) = P(X > k)\, P(Y > k)P(min>k)=P(X>k)P(Y>k)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En passant par les fonctions de répartition : $P(\max \leq k) = P(X \leq k)\, P(Y \leq k)$ et $P(\min > k) = P(X > k)\, P(Y > k)$