Comment déterminer la loi d'une somme de variables normales indépendantes ? | MetMat

Comment déterminer la loi d'une somme de variables normales indépendantes ?

En appliquant le théorème : $X_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)$ , $X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)$ indép $\Rightarrow X_1 + X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$

Identifier directement la loi d'une somme finie de variables normales indépendantes via la propriété de stabilité.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $X \sim \mathcal{N}(2, 1)$ et $Y \sim \mathcal{N}(3, 4)$ indépendantes. Donner la loi de $S = X + Y$ .

L'objectif

Identifier directement la loi d'une somme finie de variables normales indépendantes via la propriété de stabilité.

Le principe

Si $X_1, \dots, X_n$ sont indépendantes et $X_i \sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma_i^2)$ , alors $X_1 + \cdots + X_n \sim \mathcal{N}\!\left(\sum_{i=1}^n \mu_i,\ \sum_{i=1}^n \sigma_i^2\right)$ (admis au BO) ; plus généralement, si $a_i \in \mathbb{R}$ , $\sum a_i X_i \sim \mathcal{N}\!\left(\sum a_i \mu_i,\ \sum a_i^2 \sigma_i^2\right)$ .

La méthode

1
Je vérifie deux hypothèses essentielles : chaque $X_i$ suit une loi normale, et les $X_i$ sont mutuellement indépendantes.
2
Je relève les paramètres $(\mu_i, \sigma_i^2)$ de chaque variable.
3
Pour la somme $S = \sum a_i X_i$ , je calcule par linéarité $E(S) = \sum a_i \mu_i$ et, par indépendance, $V(S) = \sum a_i^2 \sigma_i^2$ .
4
J'applique le théorème de stabilité : $S$ suit la loi normale $\mathcal{N}(E(S), V(S))$ et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $X \sim \mathcal{N}(2, 1)$ et $Y \sim \mathcal{N}(3, 4)$ indépendantes. Donner la loi de $S = X + Y$ .

Étape 1 —

Je vérifie deux hypothèses essentielles : chaque

X_i

suit une loi normale, et les

X_i

sont mutuellement indépendantes.

Les variables $X$ et $Y$ sont normales et indépendantes : hypothèses du théorème vérifiées.

Étape 2 —

Je relève les paramètres

(\mu_i, \sigma_i^2)

de chaque variable.

Paramètres : $\mu_X = 2$ , $\sigma_X^2 = 1$ , $\mu_Y = 3$ , $\sigma_Y^2 = 4$ .

Étape 3 —

Pour la somme

S = \sum a_i X_i

, je calcule par linéarité

E(S) = \sum a_i \mu_i

et, par indépendance,

V(S) = \sum a_i^2 \sigma_i^2

$E(S) = 2 + 3 = 5$ , $V(S) = 1 + 4 = 5$ par indépendance.

Étape 4 —

J'applique le théorème de stabilité :

S

suit la loi normale

\mathcal{N}(E(S), V(S))

et je conclus.

Par stabilité, $S \sim \mathcal{N}(5, 5)$ .

$S = X + Y \sim \mathcal{N}(5, 5)$ .

Application guidée

Soient $X \sim \mathcal{N}(1, 2)$ et $Y \sim \mathcal{N}(4, 3)$ indépendantes. Donner la loi de $T = 2X - Y + 1$ .

Application autonome 1

Soient $X_1, \dots, X_n$ indépendantes, toutes de loi $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ . Donner la loi de $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ .

Application autonome 2

Soient $X \sim \mathcal{N}(0, 1)$ et $Y \sim \mathcal{N}(1, 4)$ indépendantes. Donner la loi de $S = 3X - 2Y$ .

Application autonome 3

Soient $X_1, X_2, X_3$ indépendantes toutes de loi $\mathcal{N}(10, 9)$ . Donner la loi de $T = X_1 + X_2 + X_3$ .

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