Comment montrer la convergence… : En utilisant u_n = o(v_n) ou u_n sim v_n… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment montrer la convergence d'une série à termes positifs par comparaison ?

En utilisant $u_n = o(v_n)$ ou $u_n \sim v_n$ avec $\sum v_n$ convergente

Démontrer la convergence de $\sum u_n$ via une comparaison asymptotique avec une série de référence convergente.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la convergence de $\sum_{n \geq 1} \dfrac{n+1}{n^3 + 5}$ .

L'objectif

Démontrer la convergence de $\sum u_n$ via une comparaison asymptotique avec une série de référence convergente.

Le principe

Pour des suites positives à partir d'un certain rang : si $u_n = o(v_n)$ ou $u_n \sim v_n$ et si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge ; pour $\sim$ , les deux séries sont en outre de même nature.

La méthode

1
Je vérifie que $u_n \geq 0$ et $v_n \geq 0$ à partir d'un certain rang (hypothèse fondamentale).
2
Je cherche une suite de référence $(v_n)$ telle que $u_n \sim v_n$ ou $u_n = o(v_n)$ , en factorisant le terme dominant ou via croissances comparées.
3
Je justifie la convergence de $\sum v_n$ (série de Riemann d'exposant $> 1$ , géométrique de raison dans $]-1, 1[$ , etc.).
4
Je conclus à la convergence de $\sum u_n$ par comparaison asymptotique des séries à termes positifs.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la convergence de $\sum_{n \geq 1} \dfrac{n+1}{n^3 + 5}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

u_n \geq 0

v_n \geq 0

à partir d'un certain rang (hypothèse fondamentale).

Pour tout $n \geq 1$ , $u_n > 0$ .

Étape 2 —

Je cherche une suite de référence

(v_n)

telle que

u_n \sim v_n

u_n = o(v_n)

, en factorisant le terme dominant ou via croissances comparées.

En factorisant les termes dominants : $u_n = \dfrac{n(1 + 1/n)}{n^3(1 + 5/n^3)} \sim \dfrac{1}{n^2}$ .

Étape 3 —

Je justifie la convergence de

\sum v_n

(série de Riemann d'exposant

> 1

, géométrique de raison dans

]-1, 1[

, etc.).

La série $\sum 1/n^2$ est une série de Riemann d'exposant $2 > 1$ , donc convergente.

Étape 4 —

Je conclus à la convergence de

\sum u_n

par comparaison asymptotique des séries à termes positifs.

Par équivalence, $\sum \dfrac{n+1}{n^3 + 5}$ converge.

La série converge.

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Comment montrer la convergence d'une série à termes positifs par comparaison ?

En utilisant un=o(vn)u_n = o(v_n)un​=o(vn​) ou un∼vnu_n \sim v_nun​∼vn​ avec ∑vn\sum v_n∑vn​ convergente

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $u_n = o(v_n)$ ou $u_n \sim v_n$ avec $\sum v_n$ convergente