Comment construire un IC de $m$ via Bienaymé-Tchebychev ? | MetMat

Comment construire un IC de $m$ via Bienaymé-Tchebychev ?

En partant de $\mathbb{P}([|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon]) \leq \sigma^2/(n\varepsilon^2)$ et en posant $\sigma^2/(n\varepsilon^2) = \alpha$

Construire un intervalle de confiance non asymptotique de niveau $1 - \alpha$ pour l'espérance $m$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{B}(p)$ . Construire un IC de $p$ au niveau $1 - \alpha = 0{,}95$ par Bienaymé-Tchebychev pour $n = 400$ .

L'objectif

Construire un intervalle de confiance non asymptotique de niveau $1 - \alpha$ pour l'espérance $m$ .

Le principe

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $\overline{X}_n$ (de variance $\sigma^2/n$ ) donne $\mathbb{P}([|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon]) \leq \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ , donc en posant $\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} = \alpha$ on obtient $\mathbb{P}([\overline{X}_n - \varepsilon < m < \overline{X}_n + \varepsilon]) \geq 1 - \alpha$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $X$ admet une espérance $m$ et une variance $\sigma^2$ (connue ou majorée), et $(X_1, \dots, X_n)$ est un $n$ -échantillon de la loi de $X$ .
2
J'applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $\overline{X}_n$ : pour tout $\varepsilon > 0$ , $\mathbb{P}([|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon]) \leq \frac{\mathbb{V}(\overline{X}_n)}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ .
Comment appliquer Bienaymé-Tchebychev pour estimer $P([|X-E(X)| \\geq \\varepsilon])$ ?Voir
3
Je pose $\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} = \alpha$ et je résous : $\varepsilon = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n\alpha}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n\alpha}}$ .
4
Je conclus que $\mathbb{P}([\overline{X}_n - \varepsilon < m < \overline{X}_n + \varepsilon]) \geq 1 - \alpha$ , donc $\left[\overline{X}_n - \frac{\sigma}{\sqrt{n\alpha}}\,;\, \overline{X}_n + \frac{\sigma}{\sqrt{n\alpha}}\right]$ est un IC de $m$ au niveau de confiance $1 - \alpha$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{B}(p)$ . Construire un IC de $p$ au niveau $1 - \alpha = 0{,}95$ par Bienaymé-Tchebychev pour $n = 400$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

X

admet une espérance

m

et une variance

\sigma^2

(connue ou majorée), et

(X_1, \dots, X_n)

est un

n

-échantillon de la loi de

X

$\mathbb{E}(X) = p$ , $\mathbb{V}(X) = p(1-p) \leq 1/4$ pour tout $p \in [0,1]$ ; $(X_1, \dots, X_{400})$ est un $400$ -échantillon de loi $\mathcal{B}(p)$ .

Étape 2 —

J'applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à

\overline{X}_n

: pour tout

\varepsilon > 0

\mathbb{P}([|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon]) \leq \frac{\mathbb{V}(\overline{X}_n)}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}

Bienaymé-Tchebychev appliquée à $\overline{X}_n$ : $\mathbb{P}([|\overline{X}_n - p| \geq \varepsilon]) \leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ .

Étape 3 —

Je pose

\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} = \alpha

et je résous :

\varepsilon = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n\alpha}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n\alpha}}

On pose $\frac{1}{4n\varepsilon^2} = \alpha = 0{,}05$ , d'où $\varepsilon = \frac{1}{2\sqrt{n\alpha}} = \frac{1}{2\sqrt{400 \times 0{,}05}} = \frac{1}{2\sqrt{20}} \approx 0{,}1118$ .

Étape 4 —

Je conclus que

\mathbb{P}([\overline{X}_n - \varepsilon < m < \overline{X}_n + \varepsilon]) \geq 1 - \alpha

, donc

\left[\overline{X}_n - \frac{\sigma}{\sqrt{n\alpha}}\,;\, \overline{X}_n + \frac{\sigma}{\sqrt{n\alpha}}\right]

est un IC de

m

au niveau de confiance

1 - \alpha

L'IC à $95\%$ est $\left[\overline{X}_n - 0{,}1118\,;\, \overline{X}_n + 0{,}1118\right]$ , valide quel que soit $p$ .

IC à $95\%$ : $[\overline{X}_n - 0{,}1118\,;\, \overline{X}_n + 0{,}1118]$ .

Application guidée

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda \leq 4$ connu. Construire un IC de $\lambda$ au niveau $1 - \alpha = 0{,}90$ pour $n = 100$ .

Application autonome 1

Sondage politique : sur $n = 1000$ personnes interrogées, $\overline{X}_n = 0{,}45$ . Donner un IC à $95\%$ de la proportion $p$ par Bienaymé-Tchebychev.

Application autonome 2

Soit $(X_1, \ldots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{B}(p)$ , on sait que $\mathbb{V}(X) = p(1 - p) \leq \tfrac{1}{4}$ . Construire un IC de $p$ au niveau $1 - \alpha = 0{,}90$ pour $n = 1000$ .

Application autonome 3

Soit $(X_1, \ldots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi admettant $\sigma^2 = 4$ connu. Construire un IC de l'espérance $m$ au niveau $1 - \alpha = 0{,}95$ pour $n = 500$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En partant de P([∣X‾n−m∣≥ε])≤σ2/(nε2)\mathbb{P}([|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon]) \leq \sigma^2/(n\varepsilon^2)P([∣Xn​−m∣≥ε])≤σ2/(nε2) et en posant σ2/(nε2)=α\sigma^2/(n\varepsilon^2) = \alphaσ2/(nε2)=α

Pour comprendre, fais des exercices !

En partant de $\mathbb{P}([|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon]) \leq \sigma^2/(n\varepsilon^2)$ et en posant $\sigma^2/(n\varepsilon^2) = \alpha$