En montrant que $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge absolument, puis en calculant cette intégrale

Justifier l'existence de $\mathbb{E}(X)$ pour une variable à densité $X$ et la calculer.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1])$ de densité $f(t) = \mathbf{1}_{[0, 1]}(t)$ . Montrer que $\mathbb{E}(X)$ existe et la calculer.

L'objectif

Justifier l'existence de $\mathbb{E}(X)$ pour une variable à densité $X$ et la calculer.

Le principe

Une variable aléatoire $X$ de densité $f_X$ admet une espérance si et seulement si l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge absolument ; dans ce cas, $\mathbb{E}(X)$ est égale à cette intégrale.

La méthode

1
J'identifie le support de $f_X$ (où elle est non nulle) et je formule l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ en n'intégrant effectivement que sur ce support.
2
J'étudie la convergence absolue : je considère $\int |t|\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ sur le support et je justifie sa convergence (croissances comparées, comparaison à une intégrale de référence, intégrale finie sur un segment).
3
Une fois la convergence absolue établie, je calcule $\int t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ directement par primitive ou par intégration par parties.
4
Je conclus : $\mathbb{E}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ , et j’en donne la valeur numérique.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1])$ de densité $f(t) = \mathbf{1}_{[0, 1]}(t)$ . Montrer que $\mathbb{E}(X)$ existe et la calculer.

Étape 1 —

J'identifie le support de

f_X

(où elle est non nulle) et je formule l'intégrale

\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t

en n'intégrant effectivement que sur ce support.

Le support de $f$ est $[0, 1]$ , donc $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f(t)\,\mathrm{d}t = \int_0^1 t \cdot 1\,\mathrm{d}t$ .

Étape 2 —

J'étudie la convergence absolue : je considère

\int |t|\,f_X(t)\,\mathrm{d}t

sur le support et je justifie sa convergence (croissances comparées, comparaison à une intégrale de référence, intégrale finie sur un segment).

Sur le segment $[0, 1]$ , la fonction $t \mapsto |t| = t$ est continue donc l'intégrale $\int_0^1 |t|\,\mathrm{d}t = \int_0^1 t\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{2}$ existe : convergence absolue.

Étape 3 —

Une fois la convergence absolue établie, je calcule

\int t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t

directement par primitive ou par intégration par parties.

On calcule $\int_0^1 t\,\mathrm{d}t = \left[ \dfrac{t^2}{2} \right]_0^1 = \dfrac{1}{2}$ .

Étape 4 —

Je conclus :

\mathbb{E}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t

, et j’en donne la valeur numérique.

On conclut : $\mathbb{E}(X) = \dfrac{1}{2}$ .

$\mathbb{E}(X) = \dfrac{1}{2}$ .

Application guidée

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ , de densité $f(t) = \lambda \mathrm{e}^{-\lambda t}$ sur $[0, +\infty[$ . Montrer que $\mathbb{E}(X)$ existe et la calculer.

Application autonome 1

Soit $X$ de densité $f(t) = \dfrac{1}{t^2}$ pour $t \geq 1$ et $0$ sinon. Cette variable admet-elle une espérance ?

Application autonome 2

Soit $X$ de densité $f(t) = \dfrac{2}{t^3}$ pour $t \geq 1$ et $0$ sinon. Montrer que $\mathbb{E}(X)$ existe et la calculer.

Application autonome 3

Soit $X$ de densité $f(t) = 2t$ pour $t \in [0, 1]$ et $0$ sinon. Calculer $\mathbb{E}(X)$ .

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En montrant que ∫−∞+∞t fX(t) dt\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t∫−∞+∞​tfX​(t)dt converge absolument, puis en calculant cette intégrale

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant que $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge absolument, puis en calculant cette intégrale