Comment montrer que $X$ admet une espérance et la calculer ?

En montrant que $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge absolument, puis en calculant cette intégrale

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1])$ de densité $f(t) = \mathbf{1}_{[0, 1]}(t)$ . Montrer que $\mathbb{E}(X)$ existe et la calculer.

La méthode

1
J'identifie le support de $f_X$ (où elle est non nulle) et je formule l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ en n'intégrant effectivement que sur ce support.
2
J'étudie la convergence absolue : je considère $\int |t|\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ sur le support et je justifie sa convergence (croissances comparées, comparaison à une intégrale de référence, intégrale finie sur un segment).
3
Une fois la convergence absolue établie, je calcule $\int t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ directement par primitive ou par intégration par parties.
4
Je conclus : $\mathbb{E}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ , et j’en donne la valeur numérique.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1])$ de densité $f(t) = \mathbf{1}_{[0, 1]}(t)$ . Montrer que $\mathbb{E}(X)$ existe et la calculer.

1

Le support de $f$ est $[0, 1]$ , donc $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f(t)\,\mathrm{d}t = \int_0^1 t \cdot 1\,\mathrm{d}t$ .

2

Sur le segment $[0, 1]$ , la fonction $t \mapsto |t| = t$ est continue donc l'intégrale $\int_0^1 |t|\,\mathrm{d}t = \int_0^1 t\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{2}$ existe : convergence absolue.

3

On calcule $\int_0^1 t\,\mathrm{d}t = \left[ \dfrac{t^2}{2} \right]_0^1 = \dfrac{1}{2}$ .

4

On conclut : $\mathbb{E}(X) = \dfrac{1}{2}$ .

$\mathbb{E}(X) = \dfrac{1}{2}$ .

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Comment montrer que XXX admet une espérance et la calculer ?

En montrant que ∫−∞+∞t fX(t) dt\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t∫−∞+∞​tfX​(t)dt converge absolument, puis en calculant cette intégrale

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment montrer que $X$ admet une espérance et la calculer ?

En montrant que $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge absolument, puis en calculant cette intégrale