Comment montrer que $X$ admet une espérance et la calculer ?

En montrant que $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge absolument, puis en calculant cette intégrale

L'objectif

Justifier l'existence de $\mathbb{E}(X)$ pour une variable à densité $X$ et la calculer.

Le principe

Une variable aléatoire $X$ de densité $f_X$ admet une espérance si et seulement si l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge absolument ; dans ce cas, $\mathbb{E}(X)$ est égale à cette intégrale.

La méthode

1
J'identifie le support de $f_X$ (où elle est non nulle) et je formule l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ en n'intégrant effectivement que sur ce support.
2
J'étudie la convergence absolue : je considère $\int |t|\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ sur le support et je justifie sa convergence (croissances comparées, comparaison à une intégrale de référence, intégrale finie sur un segment).
3
Une fois la convergence absolue établie, je calcule $\int t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ directement par primitive ou par intégration par parties.
4
Je conclus : $\mathbb{E}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ avec sa valeur explicite.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En montrant que ∫−∞+∞t fX(t) dt\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t∫−∞+∞​tfX​(t)dt converge absolument, puis en calculant cette intégrale

Exemple corrigé

En montrant que $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge absolument, puis en calculant cette intégrale