Comment calculer $\mathrm{Cov}(X, Y)$ et $\rho(X, Y)$ ?

En appliquant $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ puis $\rho = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$

L'objectif

Calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X, Y)$ et le coefficient de corrélation linéaire $\rho(X, Y)$ d'un couple $(X, Y)$ admettant un moment d'ordre $2$ .

Le principe

Si $X$ et $Y$ admettent un moment d'ordre $2$ , alors $XY$ admet une espérance et $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ ; si de plus $V(X) > 0$ et $V(Y) > 0$ , $\rho(X, Y) = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \in [-1, 1]$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X$ et $Y$ admettent un moment d'ordre $2$ (toujours vrai si $X(\Omega)$ et $Y(\Omega)$ sont finis).
2
Je calcule $E(X)$ , $E(Y)$ ainsi que $V(X)$ , $V(Y)$ via la formule de Koenig-Huygens $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ .
3
Je calcule $E(XY)$ par théorème de transfert : $E(XY) = \sum_{(x, y)} xy\, P([X = x] \cap [Y = y])$ ; puis j'en déduis $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ .
Comment calculer $E(g(X, Y))$ par théorème de transfert ?Voir
4
Si $V(X) > 0$ et $V(Y) > 0$ , je calcule $\rho(X, Y) = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sqrt{V(X)\, V(Y)}}$ et je vérifie $\rho \in [-1, 1]$ ; j'interprète le signe et l'amplitude.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En appliquant Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y) puis ρ=Cov(X,Y)σXσY\rho = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}ρ=σX​σY​Cov(X,Y)​

Exemple corrigé

En appliquant $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ puis $\rho = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$