Comment effectuer un changement de base pour un vecteur ou une matrice d'endomorphisme ?

$P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

$\det(P) = -2$, donc $P^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$.

$X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Donc $x = 2 u_1 + 1 \cdot u_2$ avec $u_1 = (1,1)$ et $u_2 = (1,-1)$ ; on vérifie : $2(1,1) + 1(1,-1) = (3, 1)$.