Comment effectuer un changement… : En appliquant X_ B' = P^ -1 X_ B pour un… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment effectuer un changement de base pour un vecteur ou une matrice d'endomorphisme ?

En appliquant $X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}}$ pour un vecteur ou $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) P$ pour un endomorphisme

Calculer les nouvelles coordonnées d'un vecteur ou la nouvelle matrice d'un endomorphisme après changement de base.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^2$ , soit $\mathcal{B}$ la base canonique et $\mathcal{B}' = ((1,1), (1,-1))$ . Soit $x$ tel que $X_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Calculer $X_{\mathcal{B}'}$ .

L'objectif

Calculer les nouvelles coordonnées d'un vecteur ou la nouvelle matrice d'un endomorphisme après changement de base.

Le principe

Soit $P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ la matrice de passage de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ . Pour un vecteur $x \in E$ , $X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}}$ ; pour un endomorphisme $f$ , $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) P$ .

La méthode

1
Je détermine la matrice de passage $P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ en écrivant en colonnes les coordonnées de $\mathcal{B}'$ dans $\mathcal{B}$ .
Comment écrire la matrice de passage $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ ?Voir
2
Je calcule $P^{-1}$ (par pivot de Gauss-Jordan, par formule en dimension $2$ , ou en utilisant que $P^{-1} = P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$ ).
3
Pour un vecteur, je calcule $X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}}$ ; pour un endomorphisme $f$ , je calcule $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} \, \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) \, P$ .
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Je conclus en lisant les coordonnées du vecteur dans $\mathcal{B}'$ ou la nouvelle matrice de $f$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je détermine la matrice de passage

P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}

en écrivant en colonnes les coordonnées de

\mathcal{B}'

dans

\mathcal{B}

$P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je calcule

P^{-1}

(par pivot de Gauss-Jordan, par formule en dimension

2

, ou en utilisant que

P^{-1} = P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}

$\det(P) = -2$ , donc $P^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Pour un vecteur, je calcule

X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}}

; pour un endomorphisme

f

, je calcule

\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} \, \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) \, P

$X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

Je conclus en lisant les coordonnées du vecteur dans

\mathcal{B}'

ou la nouvelle matrice de

f

Donc $x = 2 u_1 + 1 \cdot u_2$ avec $u_1 = (1,1)$ et $u_2 = (1,-1)$ ; on vérifie : $2(1,1) + 1(1,-1) = (3, 1)$ .

$X_{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

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Comment effectuer un changement de base pour un vecteur ou une matrice d'endomorphisme ?

En appliquant XB′=P−1XBX_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}}XB′​=P−1XB​ pour un vecteur ou MatB′(f)=P−1MatB(f)P\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) PMatB′​(f)=P−1MatB​(f)P pour un endomorphisme

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}}$ pour un vecteur ou $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) P$ pour un endomorphisme