Comment déterminer le rang d'une application linéaire ?

En calculant le rang de sa matrice par pivot de Gauss

L'objectif

Déterminer $\mathrm{rg}(f)$ pour une application linéaire dont on connaît la matrice $A$ dans des bases données.

Le principe

Le rang d'une application linéaire est égal au rang de sa matrice associée, et le rang d'une matrice est le nombre de pivots non nuls obtenus après échelonnement par opérations élémentaires sur les lignes (ou les colonnes).

La méthode

1
J'écris (ou j'identifie) la matrice $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(f)$ associée à $f$ .
2
J'applique des opérations élémentaires sur les lignes (ou colonnes) pour échelonner $A$ .
3
Je compte le nombre de pivots non nuls dans la matrice échelonnée : c'est le rang de $A$ .
4
Je conclus $\mathrm{rg}(f) = \mathrm{rg}(A) = r$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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