Comment montrer qu'une application est linéaire ?

En vérifiant $f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$

L'objectif

Prouver qu'une application $f \colon E \to F$ entre deux $\mathbb{R}$ -espaces vectoriels est linéaire.

Le principe

$f$ est linéaire si et seulement si pour tous $u, v \in E$ et tous $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ , $f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$ .

La méthode

1
Je vérifie d'abord que $f$ est bien définie de $E$ dans $F$ , puis je me donne $u, v \in E$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ quelconques.
2
Je calcule $f(\lambda u + \mu v)$ en utilisant l'expression de $f$ .
3
Je transforme l'expression obtenue pour la mettre sous la forme $\lambda f(u) + \mu f(v)$ .
4
Je conclus : « pour tous $u, v \in E$ et tous $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ , $f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$ », donc $f$ est linéaire.

Difficulté croissante de 1 à 3

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En vérifiant f(λu+μv)=λf(u)+μf(v)f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)f(λu+μv)=λf(u)+μf(v)