Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 1 d'une fonction f(x,y) ? | MetMat

Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 1 d'une fonction f(x,y) ?

En dérivant f(x,y) par rapport à x (resp. y) en fixant l'autre variable

Obtenir explicitement les dérivées partielles $\partial_1 f$ et $\partial_2 f$ d'une fonction de deux variables.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de $f \colon (x,y) \mapsto x^2 y + 3xy^2 - 5y$ .

L'objectif

Obtenir explicitement les dérivées partielles $\partial_1 f$ et $\partial_2 f$ d'une fonction de deux variables.

Le principe

La dérivée partielle $\partial_1 f(x,y)$ s'obtient en dérivant $x \mapsto f(x,y)$ avec $y$ considéré constant, et symétriquement pour $\partial_2 f(x,y)$ .

La méthode

1
Pour $\partial_1 f(x,y)$ , je considère $y$ comme une constante et je dérive l'expression $f(x,y)$ par rapport à $x$ en utilisant les règles usuelles de dérivation.
2
Pour $\partial_2 f(x,y)$ , je considère $x$ comme une constante et je dérive l'expression $f(x,y)$ par rapport à $y$ de la même manière.
3
J'écris les deux dérivées partielles obtenues sous forme simplifiée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de $f \colon (x,y) \mapsto x^2 y + 3xy^2 - 5y$ .

Étape 1 —

Pour

\partial_1 f(x,y)

, je considère

y

comme une constante et je dérive l'expression

f(x,y)

par rapport à

x

en utilisant les règles usuelles de dérivation.

À $y$ fixé, $f(x,y) = y \cdot x^2 + 3y^2 \cdot x - 5y$ est polynomiale en $x$ ; donc $\partial_1 f(x,y) = 2xy + 3y^2$ .

Étape 2 —

Pour

\partial_2 f(x,y)

, je considère

x

comme une constante et je dérive l'expression

f(x,y)

par rapport à

y

de la même manière.

À $x$ fixé, $f(x,y) = x^2 \cdot y + 3x \cdot y^2 - 5y$ ; donc $\partial_2 f(x,y) = x^2 + 6xy - 5$ .

Étape 3 —

J'écris les deux dérivées partielles obtenues sous forme simplifiée.

On obtient $\partial_1 f(x,y) = 2xy + 3y^2$ et $\partial_2 f(x,y) = x^2 + 6xy - 5$ .

$\partial_1 f(x,y) = 2xy + 3y^2$ et $\partial_2 f(x,y) = x^2 + 6xy - 5$ .

Application guidée

Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de la fonction de Cobb-Douglas $f \colon (x,y) \mapsto x^2 y^3$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 1

Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de $f \colon (x,y) \mapsto \mathrm{e}^{x^2 + y}$ .

Application autonome 2

Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de $f \colon (x,y) \mapsto \dfrac{x}{1 + y^2}$ .

Application autonome 3

Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de $f \colon (x, y) \mapsto \ln(1 + x^2 y)$ sur le domaine où $1 + x^2 y > 0$ .

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