Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert ? | MetMat

Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert ?

En résolvant le système $\nabla f(x,y)=(0,0)$

Déterminer l'ensemble des points critiques d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $U\subset\mathbb{R}^2$ .

L'objectif

Déterminer l'ensemble des points critiques d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $U\subset\mathbb{R}^2$ .

Le principe

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $U$ et admet un extremum local en $(x_0,y_0)\in U$ , alors $\nabla f(x_0,y_0)=(0,0)$ : les extrema locaux figurent donc parmi les points critiques.

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'ouvert $U$ (composées et opérations usuelles de fonctions $\mathcal{C}^1$ ).
2
Je calcule les dérivées partielles $\partial_1 f(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ et $\partial_2 f(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ .
Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 1 d'une fonction f(x,y) ?Voir
3
Je résous le système $\begin{cases}\partial_1 f(x,y)=0\\\partial_2 f(x,y)=0\end{cases}$ pour trouver tous les couples $(x,y)\in U$ annulant le gradient.
4
Je conclus en énonçant l'ensemble des points critiques de $f$ sur $U$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer les points critiques de $f\colon (x,y)\mapsto x^2+y^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est de classe

\mathcal{C}^1

sur l'ouvert

U

(composées et opérations usuelles de fonctions

\mathcal{C}^1

$f$ est polynomiale donc de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'ouvert $U=\mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Je calcule les dérivées partielles

\partial_1 f(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)

\partial_2 f(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)

$\partial_1 f(x,y)=2x$ et $\partial_2 f(x,y)=2y$ .

Étape 3 —

Je résous le système

\begin{cases}\partial_1 f(x,y)=0\\\partial_2 f(x,y)=0\end{cases}

pour trouver tous les couples

(x,y)\in U

annulant le gradient.

Le système $\begin{cases}2x=0\\2y=0\end{cases}$ donne $x=0$ et $y=0$ .

Étape 4 —

Je conclus en énonçant l'ensemble des points critiques de

f

sur

U

L'unique point critique de $f$ sur $\mathbb{R}^2$ est $(0,0)$ .

Le seul point critique est $(0,0)$ .

Application guidée

Déterminer les points critiques de $f\colon (x,y)\mapsto x^2-y^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 1

Déterminer les points critiques de $f\colon (x,y)\mapsto x^3-3x+y^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 2

Déterminer les points critiques de la fonction de Cobb-Douglas réduite $f\colon (x,y)\mapsto x^{1/2}y^{1/2}-x-y$ sur $U=\,]0,+\infty[\,\times\,]0,+\infty[$ .

Application autonome 3

Déterminer les points critiques de $f : (x, y) \mapsto x^3 + y^3 - 3xy$ sur $\mathbb{R}^2$ .

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En résolvant le système ∇f(x,y)=(0,0)\nabla f(x,y)=(0,0)∇f(x,y)=(0,0)

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant le système $\nabla f(x,y)=(0,0)$