Comment montrer qu'un endomorphisme est un isomorphisme ?

En montrant que sa matrice associée est inversible

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. Montrer que $f$ est un isomorphisme.

La méthode

1
Je choisis une base $\mathcal{B}$ de $E$ et j'écris $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ .
Comment écrire la matrice d'une application linéaire dans des bases données ?Voir
2
Je vérifie l'inversibilité de $A$ : soit en calculant son rang par pivot ( $\mathrm{rg}(A) = n$ ), soit en exhibant explicitement une inverse.
3
J'en déduis que $A$ est inversible, donc que $f$ est bijective.
4
Je conclus que $f$ est un isomorphisme de $E$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. Montrer que $f$ est un isomorphisme.

1

On prend la base canonique $\mathcal{B}$ de $\mathbb{R}^2$ et $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ .

2

Pour une matrice $2 \times 2$ : $\det(A) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 1 \neq 0$ , donc $A$ est inversible (et $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ ).

3

$A$ étant inversible, $f$ est bijective.

4

Donc $f$ est un isomorphisme de $\mathbb{R}^2$ .

$f$ est un isomorphisme.

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P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}

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