En posant $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi que $X$

L'objectif

Modéliser une expérience répétée $n$ fois en construisant un n-échantillon.

Le principe

Un $n$ -échantillon associé à $X$ est un $n$ -uplet $(X_1, \dots, X_n)$ de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, mutuellement indépendantes et de même loi que $X$ .

La méthode

1
J'identifie la variable aléatoire $X$ d'intérêt et la famille de lois $(\mathbb{P}_\theta)_{\theta \in \Theta}$ qui la décrit, avec le paramètre $\theta$ inconnu à estimer.
2
Je pose $X_1, \dots, X_n$ les variables aléatoires associées aux $n$ répétitions indépendantes de l'expérience, en précisant qu'elles sont $\mathbb{P}_\theta$ -indépendantes et de même loi que $X$ pour tout $\theta \in \Theta$ .
3
Je note $(x_1, \dots, x_n)$ la réalisation observée du $n$ -échantillon, qui servira de base aux estimations numériques.

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Application guidée 1

On lance $n = 100$ fois une pièce de monnaie possiblement biaisée pour estimer la probabilité $p$ d'obtenir pile. Modéliser ce sondage par un $n$ -échantillon.

Application guidée 2

Un sondage politique interroge $1000$ électeurs pour estimer la proportion $p$ favorable à un candidat. Définir le $n$ -échantillon adapté.

Application autonome 1

On mesure la durée de vie de $n = 50$ ampoules pour estimer le paramètre $\lambda$ d'une loi exponentielle. Définir le $n$ -échantillon.

Application autonome 2

On interroge $n = 500$ clients d'une chaîne d'hôtels pour estimer la proportion $p$ de clients satisfaits. Modéliser ce sondage par un $n$ -échantillon.

Application autonome 3

Un laboratoire mesure la concentration $X$ (en mg/L) d'une substance dans $n = 30$ échantillons d'eau, supposée suivre $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec $(\mu, \sigma^2)$ inconnus. Définir le $n$ -échantillon.

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En posant nnn variables aléatoires indépendantes et de même loi que XXX

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