En exhibant une base et en comptant ses vecteurs

Calculer la dimension d'un sous-espace vectoriel en construisant une base explicite.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer la dimension de $F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + y + z + t = 0\}$ .

L'objectif

Calculer la dimension d'un sous-espace vectoriel en construisant une base explicite.

Le principe

Toutes les bases d'un sous-espace vectoriel de dimension finie ont le même cardinal, qui est par définition la dimension du sous-espace.

La méthode

1
J'exprime un vecteur générique $u \in F$ en fonction de paramètres libres en utilisant les équations qui définissent $F$ .
2
Je factorise pour écrire $F = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)$ : la famille $(v_1, \ldots, v_p)$ est génératrice de $F$ par construction.
3
Je vérifie que la famille $(v_1, \ldots, v_p)$ est libre (résolution de $\sum \lambda_i v_i = 0$ ou rang).
Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?Voir
4
Je conclus : $(v_1, \ldots, v_p)$ est une base de $F$ , donc $\dim F = p$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer la dimension de $F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + y + z + t = 0\}$ .

Étape 1 —

J'exprime un vecteur générique

u \in F

en fonction de paramètres libres en utilisant les équations qui définissent

F

L'équation donne $t = -x - y - z$ , donc tout $u \in F$ s'écrit $(x, y, z, -x - y - z)$ avec $x, y, z$ libres.

Étape 2 —

Je factorise pour écrire

F = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)

: la famille

(v_1, \ldots, v_p)

est génératrice de

F

par construction.

On factorise : $u = x(1, 0, 0, -1) + y(0, 1, 0, -1) + z(0, 0, 1, -1)$ , donc $F = \mathrm{Vect}((1,0,0,-1), (0,1,0,-1), (0,0,1,-1))$ .

Étape 3 —

Je vérifie que la famille

(v_1, \ldots, v_p)

est libre (résolution de

\sum \lambda_i v_i = 0

ou rang).

La résolution de $\lambda_1 (1,0,0,-1) + \lambda_2 (0,1,0,-1) + \lambda_3 (0,0,1,-1) = 0$ donne $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$ par identification : la famille est libre.

Étape 4 —

Je conclus :

(v_1, \ldots, v_p)

est une base de

F

, donc

\dim F = p

Cette famille est une base de $F$ , donc $\dim F = 3$ .

$\dim F = 3$ .

Application guidée

Déterminer la dimension de $F = \{P \in \mathbb{R}_3[X] \mid P(0) = 0\}$ .

Application autonome 1

Déterminer la dimension de $F = \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mid M = M^\top\}$ (matrices symétriques).

Application autonome 2

Déterminer la dimension de $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y + 3z = 0\}$ .

Application autonome 3

Déterminer la dimension de $F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + y = 0 \text{ et } z - t = 0\}$ .

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