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Comment montrer qu'un intervalle II est stable par ff ?

En montrant que f(I)⊂If(I) \subset I par étude des variations

L'objectif

Établir qu'un intervalle II est stable par ff pour assurer que la suite (un)(u_n) définie par un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) reste dans II.

Le principe

Si ff est continue et monotone sur un intervalle II, alors f(I)f(I) est un intervalle dont les bornes sont images des bornes de II ; il suffit alors de vérifier que ces bornes restent dans II.

La méthode
  1. 1
    Je calcule f′(x)f'(x) et j'étudie son signe sur II pour déterminer la monotonie de ff sur II.
  2. 2
    Je dresse le tableau de variations de ff sur II pour en déduire l'intervalle image f(I)f(I).
  3. 3
    Je vérifie l'inclusion f(I)⊂If(I) \subset I en comparant les bornes de f(I)f(I) à celles de II, puis je conclus que II est stable par ff.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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