Comment déterminer la loi de $g(X)$ ( $X^2$ , $\exp(X)$ , $-\frac{1}{\lambda}\ln(1-Y)$ ) par changement de variable ?

En passant par la fonction de répartition $F_{g(X)}(x) = P(g(X) \le x)$ puis en dérivant pour obtenir la densité

L'objectif

Déterminer la loi (fonction de répartition puis densité) d'une variable $Y = g(X)$ obtenue comme image d'une variable à densité $X$ .

Le principe

La méthode universelle de transfert consiste à écrire $F_Y(x) = P(g(X) \le x)$ , à reformuler l'événement $\{g(X) \le x\}$ en un événement sur $X$ , puis à dériver $F_Y$ là où elle est de classe $\mathcal{C}^1$ pour obtenir $f_Y(x) = F_Y'(x)$ .

La méthode

1
Je détermine le support de $Y = g(X)$ à partir de celui de $X$ et de la fonction $g$ ; cela me donne les intervalles où $F_Y(x) = 0$ ou $F_Y(x) = 1$ .
2
Sur le reste de $\mathbb{R}$ , j'écris $F_Y(x) = P(g(X) \le x)$ et je résous l'inéquation $g(X) \le x$ pour la traduire en un événement portant sur $X$ (intervalle, union…).
3
J'exprime $F_Y(x)$ à l'aide de $F_X$ (souvent par $F_X(\cdot) - F_X(\cdot)$ si $g$ n'est pas monotone).
4
Je vérifie que $F_Y$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^1$ sauf en un nombre fini de points, je dérive pour obtenir $f_Y(x) = F_Y'(x)$ là où c'est défini, et je l'étends par $0$ ailleurs ; je reconnais éventuellement la loi obtenue.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En passant par la fonction de répartition Fg(X)(x)=P(g(X)≤x)F_{g(X)}(x) = P(g(X) \le x)Fg(X)​(x)=P(g(X)≤x) puis en dérivant pour obtenir la densité

Exemple corrigé

En passant par la fonction de répartition $F_{g(X)}(x) = P(g(X) \le x)$ puis en dérivant pour obtenir la densité