Comment utiliser les DL usuels… : En écrivant les DL usuels au voisinage… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment utiliser les DL usuels de $e^x$ , $\ln(1+x)$ , $(1+x)^\alpha$ au voisinage de $0$ ?

En écrivant les DL usuels au voisinage de 0

Lever une indétermination ou décrire un comportement local en mobilisant les DL usuels en 0.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Donner le DL à l'ordre 2 en 0 de $f(x) = \ln(1+x)$ et en déduire un équivalent simple de $\ln(1+x) - x$ en 0.

L'objectif

Lever une indétermination ou décrire un comportement local en mobilisant les DL usuels en 0.

Le principe

Au voisinage de 0 : $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \underset{0}{o}(x^2)$ , $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \underset{0}{o}(x^2)$ , $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2} x^2 + \underset{0}{o}(x^2)$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ . Aucune autre technique de calcul de DL n'est exigible : on se ramène toujours à une de ces trois formes par identification.

La méthode

1
Je reconnais l'expression sous l'une des trois formes $e^u$ , $\ln(1+u)$ ou $(1+u)^\alpha$ avec $u \to 0$ , et je précise la valeur de $\alpha$ s'il s'agit de la puissance.
2
J'écris le DL usuel correspondant à l'ordre 1 ou 2 voulu, en y substituant l'expression observée.
3
Je simplifie l'expression obtenue et je conclus (limite, équivalent, allure locale, etc.).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Donner le DL à l'ordre 2 en 0 de $f(x) = \ln(1+x)$ et en déduire un équivalent simple de $\ln(1+x) - x$ en 0.

Étape 1 —

Je reconnais l'expression sous l'une des trois formes

e^u

\ln(1+u)

(1+u)^\alpha

avec

u \to 0

, et je précise la valeur de

\alpha

s'il s'agit de la puissance.

L'expression est exactement $\ln(1+u)$ avec $u = x \to 0$ .

Étape 2 —

J'écris le DL usuel correspondant à l'ordre 1 ou 2 voulu, en y substituant l'expression observée.

J'écris le DL usuel : $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \underset{0}{o}(x^2)$ .

Étape 3 —

Je simplifie l'expression obtenue et je conclus (limite, équivalent, allure locale, etc.).

On en déduit $\ln(1+x) - x = -\dfrac{x^2}{2} + \underset{0}{o}(x^2)$ , donc $\ln(1+x) - x \underset{0}{\sim} -\dfrac{x^2}{2}$ .

$\ln(1+x) - x \underset{0}{\sim} -\dfrac{x^2}{2}$

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Comment utiliser les DL usuels de exe^xex, ln⁡(1+x)\ln(1+x)ln(1+x), (1+x)α(1+x)^\alpha(1+x)α au voisinage de 000 ?

En écrivant les DL usuels au voisinage de 0

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment utiliser les DL usuels de $e^x$ , $\ln(1+x)$ , $(1+x)^\alpha$ au voisinage de $0$ ?