En résolvant l'équation $\sum \lambda_i v_i = 0$ et en concluant $\lambda_i = 0$

Prouver qu'une famille $(v_1, \ldots, v_p)$ est libre par retour à la définition.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que la famille $((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Prouver qu'une famille $(v_1, \ldots, v_p)$ est libre par retour à la définition.

Le principe

Une famille $(v_1, \ldots, v_p)$ d'un espace vectoriel est libre si et seulement si la seule solution de $\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p = 0$ est $\lambda_1 = \cdots = \lambda_p = 0$ .

La méthode

1
Je pars de l'équation $\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p = 0$ avec $\lambda_i \in \mathbb{R}$ inconnus.
2
Je traduis cette égalité vectorielle en un système linéaire scalaire (coordonnée par coordonnée, ou coefficient par coefficient pour les polynômes/matrices).
3
Je résous le système et je vérifie que la seule solution est $\lambda_1 = \cdots = \lambda_p = 0$ .
4
Je conclus que la famille $(v_1, \ldots, v_p)$ est libre.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que la famille $((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

Je pars de l'équation

\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p = 0

avec

\lambda_i \in \mathbb{R}

inconnus.

On considère $\lambda_1 (1,1,0) + \lambda_2 (1,0,1) + \lambda_3 (0,1,1) = (0,0,0)$ .

Étape 2 —

Je traduis cette égalité vectorielle en un système linéaire scalaire (coordonnée par coordonnée, ou coefficient par coefficient pour les polynômes/matrices).

Cela donne le système : $\lambda_1 + \lambda_2 = 0$ , $\lambda_1 + \lambda_3 = 0$ , $\lambda_2 + \lambda_3 = 0$ .

Étape 3 —

Je résous le système et je vérifie que la seule solution est

\lambda_1 = \cdots = \lambda_p = 0

En sommant les trois équations : $2(\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) = 0$ , donc $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0$ ; combiné aux trois équations, on obtient $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$ .

Étape 4 —

Je conclus que la famille

(v_1, \ldots, v_p)

est libre.

La famille est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

La famille est libre.

Application guidée

Montrer que la famille $(1, X, X^2)$ est libre dans $\mathbb{R}_2[X]$ .

Application autonome 1

Montrer que la famille $(X+1, X^2 - 1, X^2 + X)$ est libre dans $\mathbb{R}_2[X]$ .

Application autonome 2

Montrer que la famille $\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right)$ est libre dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ .

Application autonome 3

Montrer que la famille $((2, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 2))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En résolvant l'équation ∑λivi=0\sum \lambda_i v_i = 0∑λi​vi​=0 et en concluant λi=0\lambda_i = 0λi​=0

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant l'équation $\sum \lambda_i v_i = 0$ et en concluant $\lambda_i = 0$