Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?

En résolvant l'équation $\sum \lambda_i v_i = 0$ et en concluant $\lambda_i = 0$

L'objectif

Prouver qu'une famille $(v_1, \ldots, v_p)$ est libre par retour à la définition.

Le principe

Une famille $(v_1, \ldots, v_p)$ d'un espace vectoriel est libre si et seulement si la seule solution de $\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p = 0$ est $\lambda_1 = \cdots = \lambda_p = 0$ .

La méthode

1
Je pars de l'équation $\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p = 0$ avec $\lambda_i \in \mathbb{R}$ inconnus.
2
Je traduis cette égalité vectorielle en un système linéaire scalaire (coordonnée par coordonnée, ou coefficient par coefficient pour les polynômes/matrices).
3
Je résous le système et je vérifie que la seule solution est $\lambda_1 = \cdots = \lambda_p = 0$ .
4
Je conclus que la famille $(v_1, \ldots, v_p)$ est libre.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En résolvant l'équation ∑λivi=0\sum \lambda_i v_i = 0∑λi​vi​=0 et en concluant λi=0\lambda_i = 0λi​=0

Exemple corrigé

En résolvant l'équation $\sum \lambda_i v_i = 0$ et en concluant $\lambda_i = 0$