En résolvant le système $(A - \lambda I_n) X = 0$ et en exhibant une base

Déterminer le sous-espace propre $E_\lambda(A) = \{X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \mid AX = \lambda X\}$ et en donner une base.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ , déterminer $E_3(A)$ .

L'objectif

Déterminer le sous-espace propre $E_\lambda(A) = \{X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \mid AX = \lambda X\}$ et en donner une base.

Le principe

Le sous-espace propre associé à $\lambda$ est $E_\lambda(A) = \ker(A - \lambda I_n)$ : on résout donc le système homogène $(A - \lambda I_n) X = 0$ pour décrire l'ensemble de ses solutions.

La méthode

1
Je vérifie d'abord que $\lambda$ est bien valeur propre de $A$ (sinon $E_\lambda(A) = \{0\}$ ).
Comment déterminer le spectre (valeurs propres) d'une matrice carrée ?Voir
2
Je pose $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ et j'écris le système $(A - \lambda I_n) X = 0$ .
3
Je résous ce système linéaire homogène (méthode du pivot ou substitution) en exprimant les inconnues en fonction de paramètres libres.
4
Je conclus en donnant une base de $E_\lambda(A)$ et sa dimension.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ , déterminer $E_3(A)$ .

Étape 1 —

Je vérifie d'abord que

\lambda

est bien valeur propre de

A

(sinon

E_\lambda(A) = \{0\}

On a vu que $3 \in \mathrm{Sp}(A)$ .

Étape 2 —

Je pose

X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}

et j'écris le système

(A - \lambda I_n) X = 0

On pose $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et on écrit $(A - 3 I_2) X = 0$ : $\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0$ .

Étape 3 —

Je résous ce système linéaire homogène (méthode du pivot ou substitution) en exprimant les inconnues en fonction de paramètres libres.

Le système se réduit à $-2x + 2y = 0$ , soit $y = x$ .

Étape 4 —

Je conclus en donnant une base de

E_\lambda(A)

et sa dimension.

$E_3(A) = \mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right)$ , de dimension $1$ .

$E_3(A) = \mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right)$ .

Application guidée

Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ , déterminer $E_{-1}(A)$ .

Application autonome 1

Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ , déterminer $E_0(A)$ .

Application autonome 2

Pour $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ , déterminer $E_2(A)$ .

Application autonome 3

Pour $A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ , déterminer $E_2(A)$ (sous-espace propre associé à la valeur propre $2$ ).

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En résolvant le système (A−λIn)X=0(A - \lambda I_n) X = 0(A−λIn​)X=0 et en exhibant une base

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant le système $(A - \lambda I_n) X = 0$ et en exhibant une base