Comment déterminer la fonction de répartition $F_X$ d'une variable à densité $X$ ? | MetMat

Comment déterminer la fonction de répartition $F_X$ d'une variable à densité $X$ ?

En calculant $F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par intégration de la densité

Obtenir la fonction de répartition $F_X$ d'une variable aléatoire à densité $X$ à partir d'une de ses densités $f_X$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X$ de densité $f(t) = 1$ sur $[0, 1]$ et $0$ ailleurs (loi uniforme sur $[0, 1]$ ). Déterminer $F_X$ .

L'objectif

Obtenir la fonction de répartition $F_X$ d'une variable aléatoire à densité $X$ à partir d'une de ses densités $f_X$ .

Le principe

Résultat admis : si $X$ est une variable à densité $f_X$ , alors pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $F_X(x) = \mathbb{P}(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,\mathrm{d}t$ .

La méthode

1
J'identifie les intervalles où $f_X$ est non nulle, ce qui détermine un découpage de $\mathbb{R}$ pour le calcul.
2
Pour chaque morceau du découpage, je calcule $F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,\mathrm{d}t$ en utilisant la relation de Chasles.
3
Je vérifie la cohérence aux points de raccord (continuité de $F_X$ ) ainsi que les limites $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1$ .
4
J'écris $F_X$ par cas, ce qui définit complètement la fonction de répartition.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X$ de densité $f(t) = 1$ sur $[0, 1]$ et $0$ ailleurs (loi uniforme sur $[0, 1]$ ). Déterminer $F_X$ .

Étape 1 —

J'identifie les intervalles où

f_X

est non nulle, ce qui détermine un découpage de

\mathbb{R}

pour le calcul.

$f$ est non nulle uniquement sur $[0, 1]$ , donc on découpe $\mathbb{R}$ en $]-\infty, 0[$ , $[0, 1]$ et $]1, +\infty[$ .

Étape 2 —

Pour chaque morceau du découpage, je calcule

F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,\mathrm{d}t

en utilisant la relation de Chasles.

Pour $x < 0$ : $F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} 0\,\mathrm{d}t = 0$ . Pour $x \in [0, 1]$ : $F_X(x) = \int_0^x 1\,\mathrm{d}t = x$ . Pour $x > 1$ : $F_X(x) = \int_0^1 1\,\mathrm{d}t = 1$ .

Étape 3 —

Je vérifie la cohérence aux points de raccord (continuité de

F_X

) ainsi que les limites

\displaystyle\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1

On vérifie que $F_X(0) = 0$ et $F_X(1) = 1$ assurent la continuité aux raccords, et que $\lim_{-\infty} F_X = 0$ , $\lim_{+\infty} F_X = 1$ .

Étape 4 —

J'écris

F_X

par cas, ce qui définit complètement la fonction de répartition.

On obtient $F_X(x) = 0$ si $x < 0$ , $F_X(x) = x$ si $x \in [0, 1]$ , $F_X(x) = 1$ si $x > 1$ .

$F_X(x) = 0$ si $x < 0$ , $F_X(x) = x$ si $0 \leq x \leq 1$ , $F_X(x) = 1$ si $x > 1$ .

Application guidée

Soit $X$ de densité $f(t) = \mathrm{e}^{-t}$ pour $t \geq 0$ et $0$ sinon (loi exponentielle de paramètre $1$ ). Déterminer $F_X$ .

Application autonome 1

Soit $X$ de densité $f(t) = \dfrac{t}{2}$ sur $[0, 2]$ et $0$ ailleurs. Déterminer $F_X$ .

Application autonome 2

Soit $X$ de densité $f(t) = 3 t^2$ sur $[0, 1]$ et $0$ ailleurs. Déterminer $F_X$ .

Application autonome 3

Soit $X$ de densité $f(t) = \dfrac{1}{2} e^{-|t|}$ sur $\mathbb{R}$ (loi de Laplace). Déterminer $F_X$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En calculant FX(x)=∫−∞xfX(t) dtF_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,\mathrm{d}tFX​(x)=∫−∞x​fX​(t)dt par intégration de la densité

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par intégration de la densité