Comment exprimer un vecteur dans une base ?

En résolvant le système linéaire donnant les coordonnées du vecteur dans la base

L'objectif

Calculer les coordonnées d'un vecteur $u$ dans une base $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ .

Le principe

Si $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ est une base d'un espace vectoriel $E$ , alors pour tout $u \in E$ , il existe un unique $n$ -uplet $(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ tel que $u = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n$ ; les $x_i$ sont les coordonnées de $u$ dans $\mathcal{B}$ .

La méthode

1
Je pose $u = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n$ avec $x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}$ inconnus.
2
Je traduis l'égalité vectorielle en système linéaire scalaire (par identification dans une base de référence ou par identification des coefficients pour les polynômes/matrices).
3
Je résous le système, qui admet une unique solution puisque $\mathcal{B}$ est une base.
4
J'écris les coordonnées de $u$ dans $\mathcal{B}$ : $(x_1, \ldots, x_n)$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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