Comment comparer empiriquement plusieurs estimateurs (histogrammes, moyennes) ? | MetMat

Comment comparer empiriquement plusieurs estimateurs (histogrammes, moyennes) ?

En générant plusieurs jeux de données simulés, en calculant les estimateurs et en traçant des histogrammes via matplotlib.pyplot.hist

Approfondissement

Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

L'objectif

Approfondissement — Comparer empiriquement le biais et la dispersion de plusieurs estimateurs d'un même paramètre à l'aide de simulations de Monte-Carlo.

Le principe

On simule $K$ jeux de données i.i.d. de taille $n$ , on calcule chaque estimateur $\\widehat{\\theta}_k$ sur le $k$ -ième jeu, puis on étudie la moyenne empirique des $\\widehat{\\theta}_k$ (biais) et leur dispersion (variance) en traçant l'histogramme avec matplotlib.pyplot.hist.

La méthode

1
Je fixe le paramètre vrai $\\theta$ , la taille $n$ d'un jeu et le nombre $K$ de répétitions Monte-Carlo.
2
Pour $k$ de $1$ à $K$ , je tire un échantillon $X_1, \\ldots, X_n$ avec numpy.random et je stocke chaque estimateur $\\widehat{\\theta}_k^{(j)}$ dans un tableau $T_j$ de taille $K$ .
3
Je calcule le biais empirique $T_j.\\mathrm{mean}() - \\theta$ et la variance empirique $T_j.\\mathrm{var}()$ de chaque estimateur.
4
Je trace les histogrammes superposés avec matplotlib.pyplot.hist(T_j, bins=..., density=True, alpha=0{,}5, label=...) et je compare visuellement les distributions des estimateurs.

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Application guidée 1

On veut estimer la moyenne $\\mu = 2$ d'une loi $\\mathcal{P}(2)$ . Comparer la moyenne empirique $\\bar X_n$ et la médiane empirique pour $n = 30$ , par $K = 5000$ simulations.

Application guidée 2

On veut estimer $p = 0{,}4$ d'une loi de Bernoulli avec $n = 50$ tirages. Comparer la fréquence empirique $\\bar X_n$ et l'estimateur $\\widehat p = (X_1 + X_n)/2$ , par $K = 10\\,000$ simulations.

Application autonome 1

Sondage : on simule $K = 2000$ sondages de taille $n = 1000$ pour estimer $p = 0{,}52$ (proportion de votants). Tracer l'histogramme de $\\bar X_n$ .

Application autonome 2

On veut estimer le paramètre $\lambda = 2$ d'une loi exponentielle. Comparer l'estimateur $\widehat{\lambda}_1 = 1 / \overline{X}_n$ (max de vraisemblance) et l'estimateur $\widehat{\lambda}_2 = 1 / \mathrm{median}(X_1, \dots, X_n)$ via $K = 5\,000$ simulations pour $n = 100$ .

Application autonome 3

On veut estimer $m = E(X)$ d'une loi $\mathcal{N}(5, 4)$ avec $n = 30$ . Comparer l'estimateur moyenne empirique $\overline{X}_n$ et l'estimateur $\widetilde{X}_n = \tfrac{X_1 + X_n}{2}$ par $K = 10\,000$ simulations.

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