Comment montrer une convergence en loi (cas $\\mathbb{Z}$) ?

$X_n$ est à valeurs dans $\\{0, 1, \\ldots, n\\} \\subset \\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z}$ et $X \\sim \\mathcal{P}(1)$ est à valeurs dans $\\mathbb{N}$.

Pour $k \\in \\mathbb{N}$ fixé et $n \\geq k$ : $P([X_n = k]) = \\binom{n}{k} \\left(\\dfrac{1}{n}\\right)^k \\left(1 - \\dfrac{1}{n}\\right)^{n-k}$.

$\\binom{n}{k} \\dfrac{1}{n^k} \\sim \\dfrac{1}{k!}$ et $\\left(1 - \\dfrac{1}{n}\\right)^{n-k} \\to e^{-1}$, donc $\\lim_{n \\to +\\infty} P([X_n = k]) = \\dfrac{e^{-1}}{k!} = P([X = k])$.

La convergence ponctuelle a lieu pour tout $k \\in \\mathbb{Z}$ (avec $P([X = k]) = 0$ pour $k < 0$), donc $X_n \\xrightarrow{\\mathcal{L}} X \\sim \\mathcal{P}(1)$.