Comment montrer une convergence en loi (cas $\\mathbb{Z}$) ? | MetMat

Comment montrer une convergence en loi (cas $\\mathbb{Z}$ ) ?

En montrant $\\lim_{n \\to +\\infty} P([X_n = k]) = P([X = k])$ pour tout $k \\in \\mathbb{Z}$

Établir $X_n \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{L}} X$ lorsque $X_n$ et $X$ sont à valeurs dans $\\mathbb{Z}$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X_n \\sim \\mathcal{B}(n,\\ 1/n)$ . Montrer que $(X_n)$ converge en loi vers $X \\sim \\mathcal{P}(1)$ .

L'objectif

Établir $X_n \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{L}} X$ lorsque $X_n$ et $X$ sont à valeurs dans $\\mathbb{Z}$ .

Le principe

Si $(X_n)$ et $X$ sont à valeurs dans $\\mathbb{Z}$ , alors $X_n \\xrightarrow{\\mathcal{L}} X$ ssi $\\forall k \\in \\mathbb{Z},\\ \\lim_{n \\to +\\infty} P([X_n = k]) = P([X = k])$ (résultat admis).

La méthode

1
Je vérifie que $(X_n)$ et $X$ sont à valeurs dans $\\mathbb{Z}$ (ou un sous-ensemble).
2
Je fixe $k \\in \\mathbb{Z}$ et j'écris $P([X_n = k])$ en fonction de $n$ .
3
Je calcule $\\lim_{n \\to +\\infty} P([X_n = k])$ et je vérifie que cette limite vaut $P([X = k])$ .
4
Comme la convergence est vraie pour tout $k \\in \\mathbb{Z}$ , je conclus que $X_n \\xrightarrow{\\mathcal{L}} X$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Soit $X_n \\sim \\mathcal{B}(n,\\ 1/n)$ . Montrer que $(X_n)$ converge en loi vers $X \\sim \\mathcal{P}(1)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

(X_n)

X

sont à valeurs dans

\\mathbb{Z}

(ou un sous-ensemble).

$X_n$ est à valeurs dans $\\{0, 1, \\ldots, n\\} \\subset \\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z}$ et $X \\sim \\mathcal{P}(1)$ est à valeurs dans $\\mathbb{N}$ .

Étape 2 —

Je fixe

k \\in \\mathbb{Z}

et j'écris

P([X_n = k])

en fonction de

n

Pour $k \\in \\mathbb{N}$ fixé et $n \\geq k$ : $P([X_n = k]) = \\binom{n}{k} \\left(\\dfrac{1}{n}\\right)^k \\left(1 - \\dfrac{1}{n}\\right)^{n-k}$ .

Étape 3 —

Je calcule

\\lim_{n \\to +\\infty} P([X_n = k])

et je vérifie que cette limite vaut

P([X = k])

$\\binom{n}{k} \\dfrac{1}{n^k} \\sim \\dfrac{1}{k!}$ et $\\left(1 - \\dfrac{1}{n}\\right)^{n-k} \\to e^{-1}$ , donc $\\lim_{n \\to +\\infty} P([X_n = k]) = \\dfrac{e^{-1}}{k!} = P([X = k])$ .

Étape 4 —

Comme la convergence est vraie pour tout

k \\in \\mathbb{Z}

, je conclus que

X_n \\xrightarrow{\\mathcal{L}} X

La convergence ponctuelle a lieu pour tout $k \\in \\mathbb{Z}$ (avec $P([X = k]) = 0$ pour $k < 0$ ), donc $X_n \\xrightarrow{\\mathcal{L}} X \\sim \\mathcal{P}(1)$ .

$X_n \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{L}} X \\sim \\mathcal{P}(1)$ .

Application guidée

Soit $X_n$ à valeurs dans $\\{0, 1\\}$ avec $P([X_n = 1]) = \\dfrac{n}{n+1}$ . Montrer que $X_n \\xrightarrow{\\mathcal{L}} X$ où $X = 1$ presque sûrement.

Application autonome 1

Soit $X_n \\sim \\mathcal{G}(p_n)$ (loi géométrique sur $\\mathbb{N}^*$ ) avec $p_n = \\dfrac{1}{2} + \\dfrac{1}{n+2}$ . Montrer que $X_n \\xrightarrow{\\mathcal{L}} X \\sim \\mathcal{G}\\!\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)$ .

Application autonome 2

Soit $X_n$ à valeurs dans $\{0, 1\}$ avec $P([X_n = 1]) = \dfrac{1}{n}$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} 0$ .

Application autonome 3

Soit $X_n \sim \mathcal{B}(2n, \tfrac{1}{2n})$ . Montrer que $X_n$ converge en loi vers $X \sim \mathcal{P}(1)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En montrant limnto+inftyP([Xn=k])=P([X=k])\\lim_{n \\to +\\infty} P([X_n = k]) = P([X = k])limnto+infty​P([Xn​=k])=P([X=k]) pour tout kinmathbbZk \\in \\mathbb{Z}kinmathbbZ

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant $\\lim_{n \\to +\\infty} P([X_n = k]) = P([X = k])$ pour tout $k \\in \\mathbb{Z}$