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Comment montrer une convergence en loi (cas mathbbZ\\mathbb{Z}) ?

En montrant limnto+inftyP([Xn=k])=P([X=k])\\lim_{n \\to +\\infty} P([X_n = k]) = P([X = k]) pour tout kinmathbbZk \\in \\mathbb{Z}

L'objectif

Établir Xnxrightarrow[nto+infty]mathcalLXX_n \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{L}} X lorsque XnX_n et XX sont à valeurs dans mathbbZ\\mathbb{Z}.

Le principe

Si (Xn)(X_n) et XX sont à valeurs dans mathbbZ\\mathbb{Z}, alors XnxrightarrowmathcalLXX_n \\xrightarrow{\\mathcal{L}} X ssi forallkinmathbbZ,limnto+inftyP([Xn=k])=P([X=k])\\forall k \\in \\mathbb{Z},\\ \\lim_{n \\to +\\infty} P([X_n = k]) = P([X = k]) (résultat admis).

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que (Xn)(X_n) et XX sont à valeurs dans mathbbZ\\mathbb{Z} (ou un sous-ensemble).
  2. 2
    Je fixe kinmathbbZk \\in \\mathbb{Z} et j'écris P([Xn=k])P([X_n = k]) en fonction de nn.
  3. 3
    Je calcule limnto+inftyP([Xn=k])\\lim_{n \\to +\\infty} P([X_n = k]) et je vérifie que cette limite vaut P([X=k])P([X = k]).
  4. 4
    Comme la convergence est vraie pour tout kinmathbbZk \\in \\mathbb{Z}, je conclus que XnxrightarrowmathcalLXX_n \\xrightarrow{\\mathcal{L}} X.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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