Comment construire un IC pour la moyenne d'une loi normale (écart-type connu) ? | MetMat

Comment construire un IC pour la moyenne d'une loi normale (écart-type connu) ?

En utilisant $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)$ et en lisant $t$ tel que $\Phi(t) = 1 - \alpha/2$

Construire un intervalle de confiance exact de niveau $1 - \alpha$ pour la moyenne $m$ d'une loi normale d'écart-type $\sigma$ connu.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On mesure le QI de $n = 100$ personnes ( $X \sim \mathcal{N}(m, 15^2)$ avec $\sigma = 15$ connu) et on observe $\overline{X}_n = 102$ . Donner un IC à $95\%$ de $m$ .

L'objectif

Construire un intervalle de confiance exact de niveau $1 - \alpha$ pour la moyenne $m$ d'une loi normale d'écart-type $\sigma$ connu.

Le principe

Si $X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$ avec $\sigma$ connu, alors $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)$ et $Z_n = \frac{\overline{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)$ ; en lisant $t$ tel que $\Phi(t) = 1 - \alpha/2$ , l'IC exact de $m$ au niveau $1 - \alpha$ est $\left[\overline{X}_n - t \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,;\, \overline{X}_n + t \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$ avec $\sigma > 0$ connu, et $(X_1, \dots, X_n)$ est un $n$ -échantillon de la loi de $X$ .
2
J'utilise le fait qu'une combinaison linéaire de variables normales indépendantes reste normale : $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)$ , donc $Z_n = \frac{\overline{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)$ .
Comment se ramener à la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ ?Voir
3
Je cherche dans la table de la loi normale centrée réduite la valeur $t$ telle que $\Phi(t) = 1 - \alpha/2$ , ce qui garantit $\mathbb{P}([-t \leq Z_n \leq t]) = 1 - \alpha$ .
4
Je traduis l'encadrement $-t \leq Z_n \leq t$ en $\overline{X}_n - t\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \overline{X}_n + t\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ et je conclus : l'IC exact de $m$ au niveau $1 - \alpha$ est $\left[\overline{X}_n - t\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,;\, \overline{X}_n + t\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On mesure le QI de $n = 100$ personnes ( $X \sim \mathcal{N}(m, 15^2)$ avec $\sigma = 15$ connu) et on observe $\overline{X}_n = 102$ . Donner un IC à $95\%$ de $m$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)

avec

\sigma > 0

connu, et

(X_1, \dots, X_n)

est un

n

-échantillon de la loi de

X

$X \sim \mathcal{N}(m, 15^2)$ avec $\sigma = 15$ connu, $(X_1, \dots, X_{100})$ est un $100$ -échantillon iid.

Étape 2 —

J'utilise le fait qu'une combinaison linéaire de variables normales indépendantes reste normale :

\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)

, donc

Z_n = \frac{\overline{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)

$\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, 15^2/100) = \mathcal{N}(m, 2{,}25)$ , donc $Z_n = \frac{\overline{X}_n - m}{1{,}5} \sim \mathcal{N}(0,1)$ .

Étape 3 —

Je cherche dans la table de la loi normale centrée réduite la valeur

t

telle que

\Phi(t) = 1 - \alpha/2

, ce qui garantit

\mathbb{P}([-t \leq Z_n \leq t]) = 1 - \alpha

Pour $\alpha = 0{,}05$ , on lit $t$ tel que $\Phi(t) = 0{,}975$ , soit $t \approx 1{,}96$ .

Étape 4 —

Je traduis l'encadrement

-t \leq Z_n \leq t

\overline{X}_n - t\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \overline{X}_n + t\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

et je conclus : l'IC exact de

m

au niveau

1 - \alpha

est

\left[\overline{X}_n - t\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,;\, \overline{X}_n + t\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]

L'IC à $95\%$ est $\left[102 - 1{,}96 \times 1{,}5\,;\, 102 + 1{,}96 \times 1{,}5\right] = [99{,}06\,;\, 104{,}94]$ .

IC à $95\%$ pour $m$ : $[99{,}06\,;\, 104{,}94]$ .

Application guidée

On contrôle le poids d'une production de paquets supposés gaussiens d'écart-type $\sigma = 5\,\mathrm{g}$ connu. Sur $n = 25$ paquets, $\overline{X}_n = 502\,\mathrm{g}$ . Donner un IC à $99\%$ du poids moyen $m$ .

Application autonome 1

On mesure la résistance d'un composant gaussien avec $\sigma = 0{,}2\,\Omega$ connu. Combien d'observations $n$ faut-il pour que la demi-largeur de l'IC à $95\%$ soit inférieure à $0{,}05\,\Omega$ ?

Application autonome 2

Sur $n = 64$ mesures d'une tension gaussienne $X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$ avec $\sigma = 2\,$ V connu, on observe $\overline{X}_n = 12{,}3\,$ V. Donner un IC à $95\,\%$ de $m$ .

Application autonome 3

Un procédé industriel produit des pièces de masse gaussienne $X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$ avec $\sigma = 0{,}5\,$ g. On souhaite un IC à $99\,\%$ de demi-largeur inférieure à $0{,}1\,$ g. Déterminer la taille $n$ minimale de l'échantillon.

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En utilisant X‾n∼N(m,σ2/n)\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)Xn​∼N(m,σ2/n) et en lisant ttt tel que Φ(t)=1−α/2\Phi(t) = 1 - \alpha/2Φ(t)=1−α/2

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)$ et en lisant $t$ tel que $\Phi(t) = 1 - \alpha/2$