Comment appliquer le théorème de transfert ?

En calculant $\mathbb{E}(g(X)) = \int g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ sous réserve de convergence absolue

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1])$ . Calculer $\mathbb{E}(\mathrm{e}^X)$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses du théorème : $f_X$ est nulle hors d'un intervalle $]a, b[$ et $g$ est continue sur $]a, b[$ sauf éventuellement en un nombre fini de points.
2
J'écris l'intégrale $\int_a^b g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ et j'étudie sa convergence absolue : je majore $|g(t)|\,f_X(t)$ ou j'utilise les croissances comparées.
3
Une fois la convergence absolue assurée, je calcule l'intégrale $\int_a^b g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par primitive, intégration par parties ou changement de variable.
4
Je conclus : $\mathbb{E}(g(X)) = \int_a^b g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ , et j’en donne la valeur numérique.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1])$ . Calculer $\mathbb{E}(\mathrm{e}^X)$ .

1

$f_X$ est nulle hors de $]0, 1[$ et $g \colon t \mapsto \mathrm{e}^t$ est continue sur $]0, 1[$ : les hypothèses du théorème sont vérifiées.

2

Sur le segment $[0, 1]$ , $|g(t)|\,f_X(t) = \mathrm{e}^t \leq \mathrm{e}$ continue, donc l'intégrale $\int_0^1 \mathrm{e}^t\,\mathrm{d}t$ converge absolument.

3

On calcule $\int_0^1 \mathrm{e}^t \cdot 1\,\mathrm{d}t = [\mathrm{e}^t]_0^1 = \mathrm{e} - 1$ .

4

On conclut : $\mathbb{E}(\mathrm{e}^X) = \mathrm{e} - 1$ .

$\mathbb{E}(\mathrm{e}^X) = \mathrm{e} - 1$ .

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Comment appliquer le théorème de transfert ?

En calculant E(g(X))=∫g(t) fX(t) dt\mathbb{E}(g(X)) = \int g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}tE(g(X))=∫g(t)fX​(t)dt sous réserve de convergence absolue

Pour comprendre, passons aux exercices.

En calculant $\mathbb{E}(g(X)) = \int g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ sous réserve de convergence absolue