Comment calculer la covariance empirique $s_{xy}$ via la formule de Koenig-Huygens ? | MetMat

Comment calculer la covariance empirique $s_{xy}$ via la formule de Koenig-Huygens ?

En appliquant $s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\bar{x}\bar{y}$

Calculer la covariance empirique $s_{xy}$ d'une série double en évitant les écarts à la moyenne.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Pour les ventes mensuelles d'une entreprise, on observe le budget publicitaire $x_i$ (k\text{€}) et le chiffre d'affaires $y_i$ (k\text{€}) sur 4 mois : $(2,30)$ , $(4,42)$ , $(6,50)$ , $(8,58)$ . Calculer $s_{xy}$ .

L'objectif

Calculer la covariance empirique $s_{xy}$ d'une série double en évitant les écarts à la moyenne.

Le principe

Pour des $n$ -uplets $x=(x_1,\dots,x_n)$ et $y=(y_1,\dots,y_n)$ , la définition $s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ se développe en $s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\bar{x}\bar{y}$ (formule de Koenig-Huygens).

La méthode

1
Je calcule les moyennes empiriques $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ et $\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$ .
2
Je calcule la somme des produits $\sum_{i=1}^n x_iy_i$ en dressant un tableau auxiliaire si besoin.
3
J'applique la formule de Koenig-Huygens $s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\bar{x}\bar{y}$ et je conclus sur le signe de $s_{xy}$ : positif (tendance croissante), négatif (décroissante) ou proche de zéro (pas de tendance linéaire).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je calcule les moyennes empiriques

\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i

\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i

Je calcule $\bar{x}=\frac{2+4+6+8}{4}=5$ et $\bar{y}=\frac{30+42+50+58}{4}=45$ .

Étape 2 —

Je calcule la somme des produits

\sum_{i=1}^n x_iy_i

en dressant un tableau auxiliaire si besoin.

Je calcule $\sum x_iy_i=2\times 30+4\times 42+6\times 50+8\times 58=60+168+300+464=992$ .

Étape 3 —

J'applique la formule de Koenig-Huygens

s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\bar{x}\bar{y}

et je conclus sur le signe de

s_{xy}

: positif (tendance croissante), négatif (décroissante) ou proche de zéro (pas de tendance linéaire).

$s_{xy}=\frac{992}{4}-5\times 45=248-225=23$ . La covariance est positive : tendance croissante.

$s_{xy}=23$ .

Application guidée

Sur 5 années, on dispose de la croissance du PIB $x_i$ (%) et de la variation du chômage $y_i$ (points) : $(1,0{,}5)$ , $(2,0{,}1)$ , $(3,-0{,}3)$ , $(4,-0{,}7)$ , $(5,-1{,}1)$ . Calculer $s_{xy}$ .

Application autonome 1

On observe pour 4 produits le prix unitaire $x_i$ (\text{€}) et la quantité vendue $y_i$ (centaines) : $(5,20)$ , $(10,15)$ , $(15,8)$ , $(20,5)$ . Calculer la covariance.

Application autonome 2

Pour 3 pays, on note le taux d'inflation $x_i$ (%) et le taux d'intérêt directeur $y_i$ (%) : $(1,1)$ , $(2,3)$ , $(3,5)$ . Calculer $s_{xy}$ .

Application autonome 3

On relève sur 4 commerces la surface $x_i$ ( $\mathrm{m}^2$ ) et le chiffre d'affaires mensuel $y_i$ (k\text{€}) : $(50, 12)$ , $(100, 25)$ , $(150, 35)$ , $(200, 48)$ . Calculer $s_{xy}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant sxy=1n∑i=1nxiyi−xˉyˉs_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\bar{x}\bar{y}sxy​=n1​∑i=1n​xi​yi​−xˉyˉ​

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\bar{x}\bar{y}$