En appliquant le TCL : $\overline{X}_n - t \cdot S_n/\sqrt{n} < m < \overline{X}_n + t \cdot S_n/\sqrt{n}$ avec $t$ quantile de $\mathcal{N}(0,1)$

L'objectif

Construire un intervalle de confiance asymptotique de niveau $1 - \alpha$ pour l'espérance $m$ d'une loi quelconque admettant un moment d'ordre $2$ .

Le principe

Le théorème limite central (TCL) donne $\frac{\overline{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ ; en remplaçant $\sigma$ par la variance empirique $S_n$ (estimateur convergent de $\sigma$ ), on obtient $\mathbb{P}\left(\overline{X}_n - t \frac{S_n}{\sqrt{n}} < m < \overline{X}_n + t \frac{S_n}{\sqrt{n}}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 1 - \alpha$ avec $t$ tel que $\Phi(t) = 1 - \alpha/2$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $X$ admet une espérance $m$ et une variance $\sigma^2 > 0$ , $(X_1, \dots, X_n)$ est un $n$ -échantillon iid avec $n$ grand (typiquement $n \geq 30$ ).
2
J'applique le TCL : $\frac{\overline{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}}$ converge en loi vers $\mathcal{N}(0,1)$ ; je remplace $\sigma$ par l'écart-type empirique $S_n = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2}$ (ou $\sqrt{p(1-p)}$ remplacé par $\sqrt{\overline{X}_n(1 - \overline{X}_n)}$ pour Bernoulli).
Comment appliquer le théorème central limite pour approximer une probabilité ?Voir
3
Je lis dans la table de $\mathcal{N}(0,1)$ le quantile $t$ tel que $\Phi(t) = 1 - \alpha/2$ (ex. $t \approx 1{,}96$ pour $\alpha = 0{,}05$ ).
4
Je conclus que $\left[\overline{X}_n - t\frac{S_n}{\sqrt{n}}\,;\, \overline{X}_n + t\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right]$ est un IC asymptotique de $m$ au niveau de confiance $1 - \alpha$ .

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Application guidée 1

Sondage avant un second tour : $n = 1500$ personnes interrogées, $\overline{X}_n = 0{,}52$ . Donner un IC asymptotique à $95\%$ de la proportion $p$ favorable au candidat.

Application guidée 2

Sur $n = 200$ ampoules de loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ , on observe $\overline{X}_n = 1200\,\mathrm{h}$ et $S_n = 1180\,\mathrm{h}$ . Donner un IC asymptotique à $95\%$ de la durée de vie moyenne $1/\lambda$ .

Application autonome 1

Sur $n = 400$ trajets en ville, on relève une consommation moyenne $\overline{X}_n = 6{,}3\,\mathrm{L}/100\,\mathrm{km}$ et $S_n = 0{,}9\,\mathrm{L}/100\,\mathrm{km}$ . Donner un IC asymptotique à $99\%$ de la consommation moyenne $m$ .

Application autonome 2

Sur $n = 900$ étudiants, on relève une note moyenne $\overline{X}_n = 12{,}4$ et $S_n = 3{,}0$ . Donner un IC asymptotique à $95\,\%$ de la moyenne $m$ .

Application autonome 3

Sondage : sur $n = 2500$ personnes, $\overline{X}_n = 0{,}48$ d'intentions de vote pour un candidat. Donner un IC asymptotique à $95\,\%$ de $p$ .

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En appliquant le TCL : X‾n−t⋅Sn/n<m<X‾n+t⋅Sn/n\overline{X}_n - t \cdot S_n/\sqrt{n} < m < \overline{X}_n + t \cdot S_n/\sqrt{n}Xn​−t⋅Sn​/n​<m<Xn​+t⋅Sn​/n​ avec ttt quantile de N(0,1)\mathcal{N}(0,1)N(0,1)

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En appliquant le TCL : $\overline{X}_n - t \cdot S_n/\sqrt{n} < m < \overline{X}_n + t \cdot S_n/\sqrt{n}$ avec $t$ quantile de $\mathcal{N}(0,1)$