Comment calculer une intégrale… : En calculant une primitive sur un… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment calculer une intégrale impropre convergente (par primitive ou passage à la limite) ?

En calculant une primitive sur un segment et en passant à la limite

Obtenir la valeur exacte d'une intégrale impropre convergente en utilisant une primitive de l'intégrande.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\int_0^{+\infty} t\, e^{-t}\,\mathrm{d}t$ .

L'objectif

Obtenir la valeur exacte d'une intégrale impropre convergente en utilisant une primitive de l'intégrande.

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a, +\infty[$ et admet $F$ pour primitive sur cet intervalle, alors $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = \lim_{x \to +\infty} F(x) - F(a)$ , sous réserve que cette limite soit finie.

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur $[a, +\infty[$ et je détermine une primitive $F$ de $f$ sur cet intervalle (les techniques de calcul comme l'IPP ou le changement de variable non affine ne sont autorisées que sur le segment $[a, x]$ ).
2
J'écris $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t = F(x) - F(a)$ pour $x > a$ , en restant sur le segment.
3
Je calcule $\lim_{x \to +\infty} F(x)$ : si elle est finie, l'intégrale converge et vaut $\lim_{x \to +\infty} F(x) - F(a)$ ; sinon, l'intégrale diverge.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\int_0^{+\infty} t\, e^{-t}\,\mathrm{d}t$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur

[a, +\infty[

et je détermine une primitive

F

f

sur cet intervalle (les techniques de calcul comme l'IPP ou le changement de variable non affine ne sont autorisées que sur le segment

[a, x]

La fonction $f \colon t \mapsto t\, e^{-t}$ est continue sur $[0, +\infty[$ ; sur le segment $[0, x]$ , j'utilise une intégration par parties (autorisée sur un segment) avec $u(t) = t$ , $u'(t) = 1$ , $v'(t) = e^{-t}$ , $v(t) = -e^{-t}$ .

Étape 2 —

J'écris

\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t = F(x) - F(a)

pour

x > a

, en restant sur le segment.

$\int_0^x t\, e^{-t}\,\mathrm{d}t = \left[-t\, e^{-t}\right]_0^x + \int_0^x e^{-t}\,\mathrm{d}t = -x\, e^{-x} + \left[-e^{-t}\right]_0^x = -x\, e^{-x} - e^{-x} + 1$ .

Étape 3 —

Je calcule

\lim_{x \to +\infty} F(x)

: si elle est finie, l'intégrale converge et vaut

\lim_{x \to +\infty} F(x) - F(a)

; sinon, l'intégrale diverge.

Par croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} x\, e^{-x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$ , donc $\int_0^{+\infty} t\, e^{-t}\,\mathrm{d}t = 1$ .

$\int_0^{+\infty} t\, e^{-t}\,\mathrm{d}t = 1$ .

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