Comment simuler un échantillon… : En appelant numpy.random.binomial(1, p… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment simuler un échantillon d'une loi (Bernoulli, Poisson) avec numpy.random ?

En appelant numpy.random.binomial(1, p, n) ou numpy.random.poisson(lam, n)

Approfondissement — Produire un échantillon de taille $n$ d'une loi discrète usuelle pour mener ensuite une étude statistique.

Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Simuler un échantillon de taille $n = 1000$ de la loi $\\mathcal{B}(0{,}3)$ et vérifier que la moyenne empirique est proche de $0{,}3$ .

L'objectif

Approfondissement — Produire un échantillon de taille $n$ d'une loi discrète usuelle pour mener ensuite une étude statistique.

Le principe

Le module numpy.random fournit des générateurs par loi : pour $X \\hookrightarrow \\mathcal{B}(p)$ on utilise numpy.random.binomial(1, p, n), pour $X \\hookrightarrow \\mathcal{P}(\\lambda)$ on utilise numpy.random.poisson(lam, n) ; le tableau renvoyé est un tirage i.i.d. de taille $n$ .

La méthode

1
Je choisis la loi visée et j'identifie son ou ses paramètres ( $p$ pour Bernoulli, $\\lambda$ pour Poisson, $(n, p)$ pour binomiale).
2
Je fixe la taille $n$ de l'échantillon et j'appelle la fonction numpy correspondante : numpy.random.binomial(1, p, n) ou numpy.random.poisson(lam, n).
3
Je calcule la moyenne et la variance empiriques avec X.mean() et X.var() pour vérifier la cohérence avec la loi théorique.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Simuler un échantillon de taille $n = 1000$ de la loi $\\mathcal{B}(0{,}3)$ et vérifier que la moyenne empirique est proche de $0{,}3$ .

Étape 1 —

Je choisis la loi visée et j'identifie son ou ses paramètres (

p

pour Bernoulli,

\\lambda

pour Poisson,

(n, p)

pour binomiale).

La loi visée est $\\mathcal{B}(p)$ avec $p = 0{,}3$ : $E(X) = p = 0{,}3$ et $V(X) = p(1-p) = 0{,}21$ .

Étape 2 —

Je fixe la taille

n

de l'échantillon et j'appelle la fonction numpy correspondante : numpy.random.binomial(1, p, n) ou numpy.random.poisson(lam, n).

Je tire l'échantillon :

import numpy as np
n, p = 1000, 0.3
X = np.random.binomial(1, p, n)

X est un tableau de 1000 zéros et uns.

Étape 3 —

Je calcule la moyenne et la variance empiriques avec X.mean() et X.var() pour vérifier la cohérence avec la loi théorique.

Je vérifie :

print(X.mean(), X.var())  # ex: 0.302 0.211

La moyenne empirique est très proche de $0{,}3$ et la variance de $0{,}21$ , conformément à la loi des grands nombres.

L'échantillon obtenu vérifie $\\bar X_n \\approx 0{,}30$ et $S_n^2 \\approx 0{,}21$ , en accord avec $\\mathcal{B}(0{,}3)$ .

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