En invoquant le caractère symétrique de la matrice (théorème admis)

Justifier rapidement la diagonalisabilité d'une matrice carrée symétrique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Justifier sans calcul que $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ est diagonalisable.

L'objectif

Justifier rapidement la diagonalisabilité d'une matrice carrée symétrique.

Le principe

Théorème admis au BO : toute matrice carrée symétrique réelle est diagonalisable ; il suffit donc de vérifier que $A^\top = A$ .

La méthode

1
Je calcule $A^\top$ (ou j'identifie visuellement la symétrie de $A$ par rapport à sa diagonale).
2
Je vérifie l'égalité $A^\top = A$ .
3
J'invoque le théorème admis : « toute matrice symétrique réelle est diagonalisable ».
4
Je conclus que $A$ est diagonalisable.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Justifier sans calcul que $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ est diagonalisable.

Étape 1 —

Je calcule

A^\top

(ou j'identifie visuellement la symétrie de

A

par rapport à sa diagonale).

On lit la matrice : la diagonale est $(1, 1)$ et les coefficients hors-diagonale sont égaux à $2$ .

Étape 2 —

Je vérifie l'égalité

A^\top = A

On a $A^\top = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = A$ , donc $A$ est symétrique.

Étape 3 —

J'invoque le théorème admis : « toute matrice symétrique réelle est diagonalisable ».

D'après le théorème admis, toute matrice symétrique réelle est diagonalisable.

Étape 4 —

Je conclus que

A

est diagonalisable.

Donc $A$ est diagonalisable.

$A$ est diagonalisable (matrice symétrique).

Application guidée

Justifier sans calcul que $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ est diagonalisable.

Application autonome 1

Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Montrer que $A = M^\top M$ est diagonalisable.

Application autonome 2

Justifier sans calcul que $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ est diagonalisable.

Application autonome 3

Soit $v \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ non nul. Montrer que $A = v\,{}^t v \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est diagonalisable.

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