En résolvant le système $f(x) = 0$ et en exhibant une base de l'ensemble des solutions

Déterminer $\ker(f)$ et en donner une base, sa dimension, ainsi qu'éventuellement conclure sur l'injectivité.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , $f(x,y,z) = (x + y - z,\ 2x + 2y - 2z)$ . Déterminer $\ker(f)$ .

L'objectif

Déterminer $\ker(f)$ et en donner une base, sa dimension, ainsi qu'éventuellement conclure sur l'injectivité.

Le principe

Le noyau $\ker(f) = \{x \in E \mid f(x) = 0_F\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ; on le décrit comme l'ensemble des solutions du système linéaire homogène $f(x) = 0$ .

La méthode

1
Je pose $x = (x_1, \ldots, x_n) \in E$ et j'écris la condition $f(x) = 0$ sous forme d'un système linéaire homogène.
2
Je résous le système (par substitution ou pivot de Gauss) et j'exprime les solutions à l'aide de paramètres libres.
3
J'écris le vecteur solution générique comme combinaison linéaire de vecteurs explicites, ce qui fournit une famille génératrice de $\ker(f)$ .
4
Je vérifie que cette famille est libre, et je conclus : « $\ker(f) = \mathrm{Vect}(\ldots)$ , $\dim \ker(f) = k$ ».
Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , $f(x,y,z) = (x + y - z,\ 2x + 2y - 2z)$ . Déterminer $\ker(f)$ .

Étape 1 —

Je pose

x = (x_1, \ldots, x_n) \in E

et j'écris la condition

f(x) = 0

sous forme d'un système linéaire homogène.

$f(x,y,z) = (0,0)$ équivaut à $\begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x + 2y - 2z = 0 \end{cases}$ , soit $x + y - z = 0$ .

Étape 2 —

Je résous le système (par substitution ou pivot de Gauss) et j'exprime les solutions à l'aide de paramètres libres.

On a $z = x + y$ ; $x$ et $y$ sont libres.

Étape 3 —

J'écris le vecteur solution générique comme combinaison linéaire de vecteurs explicites, ce qui fournit une famille génératrice de

\ker(f)

Le vecteur générique s'écrit $(x, y, x+y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1)$ .

Étape 4 —

Je vérifie que cette famille est libre, et je conclus : «

\ker(f) = \mathrm{Vect}(\ldots)

\dim \ker(f) = k

».

La famille $((1,0,1), (0,1,1))$ est libre (vecteurs non colinéaires), donc $\ker(f) = \mathrm{Vect}((1,0,1), (0,1,1))$ et $\dim \ker(f) = 2$ .

$\ker(f) = \mathrm{Vect}((1,0,1), (0,1,1))$ , dimension $2$ .

Application guidée

Soit $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ d'image $f(x,y,z) = (x - y, y - z, x - z)$ . Déterminer $\ker(f)$ .

Application autonome 1

Soit $\varphi \colon \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]$ , $\varphi(P) = P - X P'$ . Déterminer $\ker(\varphi)$ .

Application autonome 2

Soit $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , $f(x, y, z) = (x - y + z, 2x + y - z)$ . Déterminer $\ker(f)$ .

Application autonome 3

Soit $\varphi \colon \mathbb{R}_3[X] \to \mathbb{R}^2$ , $\varphi(P) = (P(0), P(1))$ . Déterminer $\ker(\varphi)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En résolvant le système f(x)=0f(x) = 0f(x)=0 et en exhibant une base de l'ensemble des solutions

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant le système $f(x) = 0$ et en exhibant une base de l'ensemble des solutions