En montrant que tout vecteur du sous-espace s'écrit comme combinaison linéaire de la famille

Prouver qu'une famille $(v_1, \ldots, v_p)$ engendre un sous-espace $F$ donné.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y + z = 0\}$ . Montrer que $((1, 1, 0), (-1, 0, 1))$ engendre $F$ .

L'objectif

Prouver qu'une famille $(v_1, \ldots, v_p)$ engendre un sous-espace $F$ donné.

Le principe

Une famille $(v_1, \ldots, v_p)$ engendre $F$ si et seulement si $F = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)$ , c'est-à-dire $\forall u \in F,\ \exists (\lambda_1, \ldots, \lambda_p) \in \mathbb{R}^p,\ u = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p$ .

La méthode

1
Je prends un vecteur $u$ quelconque de $F$ et j'écris ses coordonnées en utilisant la définition de $F$ (équations ou paramétrisation).
2
Je cherche des coefficients $\lambda_1, \ldots, \lambda_p \in \mathbb{R}$ tels que $u = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p$ , soit en factorisant directement, soit en résolvant le système associé.
3
Je vérifie que les $\lambda_i$ existent pour tout $u \in F$ (pas de condition de compatibilité).
4
Je conclus que $(v_1, \ldots, v_p)$ est une famille génératrice de $F$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Soit $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y + z = 0\}$ . Montrer que $((1, 1, 0), (-1, 0, 1))$ engendre $F$ .

Étape 1 —

Je prends un vecteur

u

quelconque de

F

et j'écris ses coordonnées en utilisant la définition de

F

(équations ou paramétrisation).

Soit $u = (x, y, z) \in F$ ; alors $x = y - z$ , donc $u = (y - z, y, z)$ .

Étape 2 —

Je cherche des coefficients

\lambda_1, \ldots, \lambda_p \in \mathbb{R}

tels que

u = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p

, soit en factorisant directement, soit en résolvant le système associé.

On cherche $\lambda_1, \lambda_2$ tels que $u = \lambda_1 (1, 1, 0) + \lambda_2 (-1, 0, 1) = (\lambda_1 - \lambda_2, \lambda_1, \lambda_2)$ . Par identification : $\lambda_1 = y$ et $\lambda_2 = z$ , et alors $\lambda_1 - \lambda_2 = y - z = x$ : ok.

Étape 3 —

Je vérifie que les

\lambda_i

existent pour tout

u \in F

(pas de condition de compatibilité).

Pour tout $u \in F$ , le couple $(\lambda_1, \lambda_2) = (y, z)$ convient sans condition.

Étape 4 —

Je conclus que

(v_1, \ldots, v_p)

est une famille génératrice de

F

$((1,1,0), (-1,0,1))$ est une famille génératrice de $F$ .

$F = \mathrm{Vect}((1,1,0), (-1,0,1))$ .

Application guidée

Soit $F = \{P \in \mathbb{R}_2[X] \mid P(1) = 0\}$ . Montrer que $(X - 1, X^2 - 1)$ engendre $F$ .

Application autonome 1

Soit $F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + y = 0 \text{ et } z - t = 0\}$ . Montrer que $((1, -1, 0, 0), (0, 0, 1, 1))$ engendre $F$ .

Application autonome 2

Soit $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid 2x - y + z = 0\}$ . Montrer que $((1, 2, 0), (0, 1, 1))$ engendre $F$ .

Application autonome 3

Soit $F = \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mid \mathrm{tr}(M) = 0\}$ . Montrer que $\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right)$ engendre $F$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices