MetMat
← Retour aux méthodes

Comment montrer qu'une famille est génératrice d'un sous-espace ?

En montrant que tout vecteur du sous-espace s'écrit comme combinaison linéaire de la famille

L'objectif

Prouver qu'une famille (v1,…,vp)(v_1, \ldots, v_p) engendre un sous-espace FF donné.

Le principe

Une famille (v1,…,vp)(v_1, \ldots, v_p) engendre FF si et seulement si F=Vect(v1,…,vp)F = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p), c'est-à-dire ∀u∈F, ∃(λ1,…,λp)∈Rp, u=λ1v1+⋯+λpvp\forall u \in F,\ \exists (\lambda_1, \ldots, \lambda_p) \in \mathbb{R}^p,\ u = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p.

La méthode
  1. 1
    Je prends un vecteur uu quelconque de FF et j'écris ses coordonnées en utilisant la définition de FF (équations ou paramétrisation).
  2. 2
    Je cherche des coefficients λ1,…,λp∈R\lambda_1, \ldots, \lambda_p \in \mathbb{R} tels que u=λ1v1+⋯+λpvpu = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p, soit en factorisant directement, soit en résolvant le système associé.
  3. 3
    Je vérifie que les λi\lambda_i existent pour tout u∈Fu \in F (pas de condition de compatibilité).
  4. 4
    Je conclus que (v1,…,vp)(v_1, \ldots, v_p) est une famille génératrice de FF.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.