Comment effectuer une… : En appliquant un changement de variable… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment effectuer une pré-transformation pour se ramener au cas linéaire ?

En appliquant un changement de variable (ex : $\ln$ ) pour linéariser une relation puissance ou exponentielle

Ajuster un modèle non linéaire (exponentiel, puissance, etc.) en se ramenant à une régression linéaire après changement de variable.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Le PIB d'un pays (en milliards) sur 4 années est $(0;100)$ , $(1;110)$ , $(2;121)$ , $(3;133{,}1)$ . Ajuster un modèle exponentiel $y=Ae^{kx}$ et estimer le PIB pour $x=5$ .

L'objectif

Ajuster un modèle non linéaire (exponentiel, puissance, etc.) en se ramenant à une régression linéaire après changement de variable.

Le principe

Si $y=Ae^{kx}$ alors $\ln y=\ln A+kx$ (relation affine en $x$ ) ; si $y=Ax^k$ alors $\ln y=\ln A+k\ln x$ (relation affine en $\ln x$ ). Le coefficient de corrélation après transformation mesure la pertinence du modèle initial.

La méthode

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J'identifie la forme du nuage (croissance exponentielle, loi puissance, etc.) et je choisis la transformation adaptée : $Y = \ln y$ pour un modèle exponentiel $y = A\mathrm{e}^{kx}$ , ou $X = \ln x$ et $Y = \ln y$ pour un modèle puissance $y = Ax^k$ . Je vérifie au préalable que tous les $y_i > 0$ (et $x_i > 0$ si on transforme aussi $x$ ).
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Je calcule les nouvelles données transformées $(x_i,Y_i)$ ou $(X_i,Y_i)$ , puis j'applique la régression linéaire des moindres carrés à cette nouvelle série pour obtenir $Y=aX+b$ (avec ici $X=x$ ou $X=\ln x$ ).
Comment déterminer les droites de régression par moindres carrés ?Voir
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Je reviens aux variables initiales : pour $\ln y=kx+\ln A$ je pose $A=e^b$ et $k=a$ , donc $y=e^b\cdot e^{ax}$ ; je vérifie via $|r_{XY}|$ proche de $1$ que le modèle est pertinent.
Comment calculer le coefficient de corrélation linéaire empirique $r_{xy}$ et l'interpréter ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Le PIB d'un pays (en milliards) sur 4 années est $(0;100)$ , $(1;110)$ , $(2;121)$ , $(3;133{,}1)$ . Ajuster un modèle exponentiel $y=Ae^{kx}$ et estimer le PIB pour $x=5$ .

Étape 1 —

J'identifie la forme du nuage (croissance exponentielle, loi puissance, etc.) et je choisis la transformation adaptée :

Y = \ln y

pour un modèle exponentiel

y = A\mathrm{e}^{kx}

, ou

X = \ln x

Y = \ln y

pour un modèle puissance

y = Ax^k

. Je vérifie au préalable que tous les

y_i > 0

(et

x_i > 0

si on transforme aussi

x

Le nuage est exponentiel croissant, je pose $Y=\ln y$ . Comme tous les $y_i>0$ , on peut transformer : $Y_0=\ln 100\approx 4{,}605$ , $Y_1=\ln 110\approx 4{,}700$ , $Y_2=\ln 121\approx 4{,}796$ , $Y_3=\ln 133{,}1\approx 4{,}891$ .

Étape 2 —

Je calcule les nouvelles données transformées

(x_i,Y_i)

(X_i,Y_i)

, puis j'applique la régression linéaire des moindres carrés à cette nouvelle série pour obtenir

Y=aX+b

(avec ici

X=x

X=\ln x

Régression linéaire de $Y$ en $x$ : $\bar{x}=1{,}5$ , $\bar{Y}\approx 4{,}748$ , $s_{xY}\approx 0{,}119$ , $s_x^2=1{,}25$ . Donc $a\approx\dfrac{0{,}119}{1{,}25}\approx 0{,}0953$ et $b\approx 4{,}748-0{,}0953\times 1{,}5\approx 4{,}605$ . La droite est $Y=0{,}0953x+4{,}605$ .

Étape 3 —

Je reviens aux variables initiales : pour

\ln y=kx+\ln A

je pose

A=e^b

k=a

, donc

y=e^b\cdot e^{ax}

; je vérifie via

|r_{XY}|

proche de

1

que le modèle est pertinent.

Retour aux variables initiales : $A=e^{4{,}605}\approx 100$ et $k\approx 0{,}0953$ ( $\approx \ln(1{,}1)$ ), donc $y\approx 100\,e^{0{,}0953x}$ . Pour $x=5$ : $y\approx 100\,e^{0{,}4767}\approx 161$ Mds. Le coefficient $r_{xY}\approx 1$ confirme la pertinence du modèle exponentiel.

$y\approx 100\,e^{0{,}0953x}$ ; PIB prévu $\approx 161$ Mds pour $x=5$ .

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Comment effectuer une pré-transformation pour se ramener au cas linéaire ?

En appliquant un changement de variable (ex : ln⁡\lnln) pour linéariser une relation puissance ou exponentielle

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant un changement de variable (ex : $\ln$ ) pour linéariser une relation puissance ou exponentielle