Comment montrer qu'une suite $(\\bar{X}_n)$ vérifie la loi faible des grands nombres ? | MetMat

Comment montrer qu'une suite $(\\bar{X}_n)$ vérifie la loi faible des grands nombres ?

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à $\\bar{X}_n = \\dfrac{X_1 + \\cdots + X_n}{n}$ avec $E(\\bar{X}_n) = m$ et $V(\\bar{X}_n) = \\dfrac{\\sigma^2}{n}$

Établir $\\lim_{n \\to +\\infty} P([|\\bar{X}_n - m| \\geq \\varepsilon]) = 0$ pour la moyenne empirique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de loi de Bernoulli $\\mathcal{B}(p)$ . Montrer la LFGN pour la fréquence empirique $\\bar{X}_n$ .

L'objectif

Établir $\\lim_{n \\to +\\infty} P([|\\bar{X}_n - m| \\geq \\varepsilon]) = 0$ pour la moyenne empirique.

Le principe

Si $(X_n)_{n \\in \\mathbb{N}^*}$ sont indépendantes, de même espérance $m$ et même variance $\\sigma^2$ , alors $\\bar{X}_n$ vérifie $E(\\bar{X}_n) = m$ et $V(\\bar{X}_n) = \\dfrac{\\sigma^2}{n}$ , et Bienaymé-Tchebychev donne la convergence vers $0$ de $P([|\\bar{X}_n - m| \\geq \\varepsilon])$ .

La méthode

1
Je vérifie que les $X_k$ sont indépendantes, de même espérance $m$ et même variance $\\sigma^2$ (existence du moment d'ordre $2$ ).
2
Je calcule $E(\\bar{X}_n) = m$ par linéarité et $V(\\bar{X}_n) = \\dfrac{\\sigma^2}{n}$ par indépendance.
3
Pour $\\varepsilon > 0$ , j'applique Bienaymé-Tchebychev à $\\bar{X}_n$ : $P([|\\bar{X}_n - m| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{\\sigma^2}{n \\varepsilon^2}$ .
Comment appliquer Bienaymé-Tchebychev pour estimer $P([|X-E(X)| \\geq \\varepsilon])$ ?Voir
4
Je passe à la limite quand $n \\to +\\infty$ : $\\dfrac{\\sigma^2}{n \\varepsilon^2} \\to 0$ , donc $\\lim_{n \\to +\\infty} P([|\\bar{X}_n - m| \\geq \\varepsilon]) = 0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de loi de Bernoulli $\\mathcal{B}(p)$ . Montrer la LFGN pour la fréquence empirique $\\bar{X}_n$ .

Étape 1 —

Je vérifie que les

X_k

sont indépendantes, de même espérance

m

et même variance

\\sigma^2

(existence du moment d'ordre

2

Les $X_k$ sont indépendantes, de même loi $\\mathcal{B}(p)$ , donc $E(X_k) = p$ et $V(X_k) = p(1-p)$ existent.

Étape 2 —

Je calcule

E(\\bar{X}_n) = m

par linéarité et

V(\\bar{X}_n) = \\dfrac{\\sigma^2}{n}

par indépendance.

$E(\\bar{X}_n) = p$ et $V(\\bar{X}_n) = \\dfrac{p(1-p)}{n}$ .

Étape 3 —

Pour

\\varepsilon > 0

, j'applique Bienaymé-Tchebychev à

\\bar{X}_n

P([|\\bar{X}_n - m| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{\\sigma^2}{n \\varepsilon^2}

Pour $\\varepsilon > 0$ : $P([|\\bar{X}_n - p| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{p(1-p)}{n \\varepsilon^2}$ .

Étape 4 —

Je passe à la limite quand

n \\to +\\infty

\\dfrac{\\sigma^2}{n \\varepsilon^2} \\to 0

, donc

\\lim_{n \\to +\\infty} P([|\\bar{X}_n - m| \\geq \\varepsilon]) = 0

Comme $\\dfrac{p(1-p)}{n \\varepsilon^2} \\to 0$ quand $n \\to +\\infty$ , on a $\\lim_{n \\to +\\infty} P([|\\bar{X}_n - p| \\geq \\varepsilon]) = 0$ .

$\\bar{X}_n$ vérifie la loi faible des grands nombres : elle converge en probabilité vers $p$ .

Application guidée

Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de loi exponentielle $\\mathcal{E}(1)$ . Montrer la LFGN pour $\\bar{X}_n$ .

Application autonome 1

Soit $(X_n)$ i.i.d. de loi uniforme sur $[0, 1]$ . Pour $\\varepsilon = 0{,}01$ et $n = 10\\,000$ , majorer $P([|\\bar{X}_n - 1/2| \\geq 0{,}01])$ .

Application autonome 2

Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ . Montrer la LFGN pour $\bar{X}_n$ .

Application autonome 3

Soit $(X_n)$ i.i.d. d'espérance $m = 2$ et de variance $\sigma^2 = 1$ . Pour $\varepsilon = 0{,}05$ , déterminer $n$ minimal garantissant $P([|\bar{X}_n - m| \geq \varepsilon]) \leq 0{,}01$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à barXn=dfracX1+cdots+Xnn\\bar{X}_n = \\dfrac{X_1 + \\cdots + X_n}{n}barXn​=dfracX1​+cdots+Xn​n avec E(barXn)=mE(\\bar{X}_n) = mE(barXn​)=m et V(barXn)=dfracsigma2nV(\\bar{X}_n) = \\dfrac{\\sigma^2}{n}V(barXn​)=dfracsigma2n

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à $\\bar{X}_n = \\dfrac{X_1 + \\cdots + X_n}{n}$ avec $E(\\bar{X}_n) = m$ et $V(\\bar{X}_n) = \\dfrac{\\sigma^2}{n}$