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Comment montrer qu'une suite (barXn)(\\bar{X}_n) vérifie la loi faible des grands nombres ?

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à barXn=dfracX1+cdots+Xnn\\bar{X}_n = \\dfrac{X_1 + \\cdots + X_n}{n} avec E(barXn)=mE(\\bar{X}_n) = m et V(barXn)=dfracsigma2nV(\\bar{X}_n) = \\dfrac{\\sigma^2}{n}

L'objectif

Établir limnto+inftyP([∣barXn−m∣geqvarepsilon])=0\\lim_{n \\to +\\infty} P([|\\bar{X}_n - m| \\geq \\varepsilon]) = 0 pour la moyenne empirique.

Le principe

Si (Xn)ninmathbbN∗(X_n)_{n \\in \\mathbb{N}^*} sont indépendantes, de même espérance mm et même variance sigma2\\sigma^2, alors barXn\\bar{X}_n vérifie E(barXn)=mE(\\bar{X}_n) = m et V(barXn)=dfracsigma2nV(\\bar{X}_n) = \\dfrac{\\sigma^2}{n}, et Bienaymé-Tchebychev donne la convergence vers 00 de P([∣barXn−m∣geqvarepsilon])P([|\\bar{X}_n - m| \\geq \\varepsilon]).

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que les XkX_k sont indépendantes, de même espérance mm et même variance sigma2\\sigma^2 (existence du moment d'ordre 22).
  2. 2
    Je calcule E(barXn)=mE(\\bar{X}_n) = m par linéarité et V(barXn)=dfracsigma2nV(\\bar{X}_n) = \\dfrac{\\sigma^2}{n} par indépendance.
  3. 3
    Pour varepsilon>0\\varepsilon > 0, j'applique Bienaymé-Tchebychev à barXn\\bar{X}_n : P([∣barXn−m∣geqvarepsilon])leqdfracsigma2nvarepsilon2P([|\\bar{X}_n - m| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{\\sigma^2}{n \\varepsilon^2}.
    Voir
  4. 4
    Je passe à la limite quand nto+inftyn \\to +\\infty : dfracsigma2nvarepsilon2to0\\dfrac{\\sigma^2}{n \\varepsilon^2} \\to 0, donc limnto+inftyP([∣barXn−m∣geqvarepsilon])=0\\lim_{n \\to +\\infty} P([|\\bar{X}_n - m| \\geq \\varepsilon]) = 0.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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