Comment montrer que deux… : En montrant qu'elles représentent le… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment montrer que deux matrices carrées sont semblables ?

En montrant qu'elles représentent le même endomorphisme dans des bases différentes

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ (matrice de $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ dans la base canonique $\mathcal{B}$ ) et $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ . Sachant que $f(1,1) = (2, 0)$ et $f(1,-1) = (0, 2)$ , montrer que $A$ et $B$ ne sont pas semblables (on testera la base $\mathcal{B}' = ((1,1),(1,-1))$ et on identifiera la vraie matrice).

La méthode

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J'identifie un endomorphisme $f \in \mathcal{L}(E)$ dont $A$ est la matrice dans une base $\mathcal{B}$ .
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J'introduis une seconde base $\mathcal{B}'$ de $E$ (souvent suggérée par l'énoncé ou la structure de $f$ ) et je calcule la matrice de $f$ dans $\mathcal{B}'$ .
Comment écrire la matrice d'une application linéaire dans des bases données ?Voir
3
Je vérifie que $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = B$ , c'est-à-dire que $A$ et $B$ représentent le même endomorphisme.
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Je conclus : il existe $P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ inversible telle que $B = P^{-1} A P$ , donc $A$ et $B$ sont semblables.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On considère $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ tel que $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = A$ avec $\mathcal{B}$ canonique.

Posons $\mathcal{B}' = ((1,1),(1,-1))$ . On calcule $f(1,1) = (2,0) = 1 \cdot (1,1) + 1 \cdot (1,-1)$ et $f(1,-1) = (0,2) = 1 \cdot (1,1) + (-1) \cdot (1,-1)$ .

Donc $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \neq B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ : $B$ n'est pas la matrice de $f$ dans $\mathcal{B}'$ .

Le déterminant est un invariant de similitude : $\det(A) = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -2$ et $\det(B) = 2 \cdot (-2) - 0 = -4$ . Comme $\det(A) = -2 \neq -4 = \det(B)$ , $A$ et $B$ ne sont pas semblables.

$A$ et $B$ ne sont pas semblables ( $\det(A) = -2 \neq -4 = \det(B)$ ).

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