Comment montrer qu'une fonction… : En invoquant le théorème : toute… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment montrer qu'une fonction admet un minimum / maximum global sur une partie fermée bornée ?

En invoquant le théorème : toute fonction continue sur un fermé borné de $\mathbb{R}^2$ y atteint ses bornes

Justifier l'existence (et éventuellement la détermination) d'un minimum et d'un maximum global d'une fonction continue sur une partie fermée bornée de $\mathbb{R}^2$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Justifier que $f\colon (x,y)\mapsto x^2+y^2$ admet un minimum et un maximum global sur le disque fermé $K=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le 1\}$ , puis les déterminer.

L'objectif

Justifier l'existence (et éventuellement la détermination) d'un minimum et d'un maximum global d'une fonction continue sur une partie fermée bornée de $\mathbb{R}^2$ .

Le principe

Théorème admis du B.O. : si $K$ est une partie fermée et bornée de $\mathbb{R}^2$ et si $f\colon K\to\mathbb{R}$ est continue, alors $f$ est bornée sur $K$ et atteint ses bornes (il existe $(a,b),(c,d)\in K$ tels que $f(a,b)=\min_K f$ et $f(c,d)=\max_K f$ ).

La méthode

1
Je rappelle (ou cite l'énoncé) que $K$ est une partie fermée bornée de $\mathbb{R}^2$ — la nature topologique est toujours indiquée au B.O.
2
Je vérifie que $f$ est continue sur $K$ (par opérations et composées de fonctions continues).
3
J'invoque le théorème admis : $f$ est bornée sur $K$ et atteint ses bornes, donc $f$ admet sur $K$ un minimum global et un maximum global.
4
Pour les localiser, je cherche les candidats : points critiques intérieurs (par $\nabla f=0$ sur l'intérieur de $K$ ) et points de la frontière (étude paramétrée), puis je compare les valeurs de $f$ pour conclure.
Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Justifier que $f\colon (x,y)\mapsto x^2+y^2$ admet un minimum et un maximum global sur le disque fermé $K=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le 1\}$ , puis les déterminer.

Étape 1 —

Je rappelle (ou cite l'énoncé) que

K

est une partie fermée bornée de

\mathbb{R}^2

— la nature topologique est toujours indiquée au B.O.

$K$ est le disque unité fermé ; l'énoncé (ou un résultat classique indiqué) garantit que $K$ est fermé borné de $\mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Je vérifie que

f

est continue sur

K

(par opérations et composées de fonctions continues).

$f$ est polynomiale donc continue sur $K$ .

Étape 3 —

J'invoque le théorème admis :

f

est bornée sur

K

et atteint ses bornes, donc

f

admet sur

K

un minimum global et un maximum global.

Par le théorème admis, $f$ est bornée sur $K$ et atteint ses bornes : un min et un max global existent.

Étape 4 —

Pour les localiser, je cherche les candidats : points critiques intérieurs (par

\nabla f=0

sur l'intérieur de

K

) et points de la frontière (étude paramétrée), puis je compare les valeurs de

f

pour conclure.

Sur l'intérieur (disque ouvert), $\nabla f=(2x,2y)=0$ en $(0,0)$ avec $f(0,0)=0$ . Sur la frontière $x^2+y^2=1$ , $f\equiv 1$ . Le min global est $0$ atteint en $(0,0)$ , le max global est $1$ atteint sur tout le cercle unité.

Min global : $0$ en $(0,0)$ ; max global : $1$ sur tout le cercle $x^2+y^2=1$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment montrer qu'une fonction admet un minimum / maximum global sur une partie fermée bornée ?

En invoquant le théorème : toute fonction continue sur un fermé borné de R2\mathbb{R}^2R2 y atteint ses bornes

Pour comprendre, fais des exercices !

En invoquant le théorème : toute fonction continue sur un fermé borné de $\mathbb{R}^2$ y atteint ses bornes