En résolvant l'équation $f(\ell) = \ell$

Déterminer les valeurs candidates pour la limite d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ en cherchant les points fixes de $f$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer les points fixes de $f \colon x \mapsto \sqrt{x+2}$ sur $[0, +\infty[$ .

L'objectif

Déterminer les valeurs candidates pour la limite d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ en cherchant les points fixes de $f$ .

Le principe

Un réel $\ell$ est un point fixe de $f$ si et seulement si $f(\ell) = \ell$ : il s'agit donc de résoudre l'équation $f(x) = x$ sur l'ensemble de définition pertinent.

La méthode

1
Je pose l'équation $f(x) = x$ sur le domaine d'étude $D$ pertinent (souvent un intervalle stable par $f$ ).
2
Je résous cette équation par les techniques algébriques adaptées (factorisation, équation polynomiale, étude d'une fonction auxiliaire $g(x) = f(x) - x$ ).
3
Je conclus en listant tous les points fixes obtenus, en indiquant ceux qui appartiennent à l'intervalle d'étude.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer les points fixes de $f \colon x \mapsto \sqrt{x+2}$ sur $[0, +\infty[$ .

Étape 1 —

Je pose l'équation

f(x) = x

sur le domaine d'étude

D

pertinent (souvent un intervalle stable par

f

Je résous $\sqrt{x+2} = x$ avec $x \in [0, +\infty[$ .

Étape 2 —

Je résous cette équation par les techniques algébriques adaptées (factorisation, équation polynomiale, étude d'une fonction auxiliaire

g(x) = f(x) - x

Comme $x \geq 0$ , je peux élever au carré : $x + 2 = x^2$ , soit $x^2 - x - 2 = 0$ . Le discriminant vaut $\Delta = 1 + 8 = 9$ , d'où $x = \dfrac{1 \pm 3}{2}$ . Les solutions sont $x = 2$ et $x = -1$ .

Étape 3 —

Je conclus en listant tous les points fixes obtenus, en indiquant ceux qui appartiennent à l'intervalle d'étude.

Seul $x = 2$ appartient à $[0, +\infty[$ (vérification : $\sqrt{2+2} = 2$ ). Donc $f$ admet un unique point fixe sur $[0, +\infty[$ : $\ell = 2$ .

$\ell = 2$

Application guidée

Déterminer les points fixes de $f \colon x \mapsto \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{3}{x}\right)$ sur $]0, +\infty[$ .

Application autonome 1

Déterminer les points fixes de $f \colon x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Déterminer les points fixes de $f : x \mapsto \dfrac{x + 3}{x + 1}$ sur $]0, +\infty[$ .

Application autonome 3

Déterminer les points fixes de $f : x \mapsto \dfrac{x^2 + 2}{3}$ sur $\mathbb{R}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En résolvant l'équation f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ellf(ℓ)=ℓ

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant l'équation $f(\ell) = \ell$