Comment calculer $V_n$ à partir de $V_0$ et $M$ ?

En écrivant $V_n = V_0 M^n$ puis en calculant $M^n$ par diagonalisation

L'objectif

Calculer la loi $V_n$ à un rang quelconque en utilisant la formule $V_n = V_0 M^n$ et une diagonalisation de $M$ .

Le principe

Une récurrence immédiate à partir de $V_n = V_{n-1} M$ donne $V_n = V_0 M^n$ ; lorsque $M$ est diagonalisable sous la forme $M = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale, on a $M^n = P D^n P^{-1}$ , ce qui ramène le calcul de $M^n$ à celui des puissances des valeurs propres.

La méthode

1
Je démontre par récurrence sur $n$ que $V_n = V_0 M^n$ à partir de la relation $V_n = V_{n-1} M$ .
2
Je diagonalise $M$ : je cherche les valeurs propres puis une base de vecteurs propres, ce qui me donne $M = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale (en supposant $M$ diagonalisable).
Comment diagonaliser explicitement une matrice ($D = P^{-1} A P$) ?Voir
3
Je calcule $M^n = P D^n P^{-1}$ en élevant les coefficients diagonaux de $D$ à la puissance $n$ .
Comment calculer une puissance n-ième d'une matrice diagonalisable ?Voir
4
Je multiplie : $V_n = V_0 M^n$ , et je conclus en explicitant chaque coordonnée de $V_n$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En écrivant Vn=V0MnV_n = V_0 M^nVn​=V0​Mn puis en calculant MnM^nMn par diagonalisation

Exemple corrigé

En écrivant $V_n = V_0 M^n$ puis en calculant $M^n$ par diagonalisation