Comment étudier une série à termes quelconques (convergence absolue) ?

En montrant la convergence absolue $\sum |u_n|$

Démontrer la convergence d'une série à termes de signes quelconques en passant par la série des modules.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la convergence de $\sum_{n \geq 1} \dfrac{(-1)^n}{n^2}$ .

L'objectif

Démontrer la convergence d'une série à termes de signes quelconques en passant par la série des modules.

Le principe

Si $\sum |u_n|$ converge (convergence absolue), alors $\sum u_n$ converge.

La méthode

1
Je forme la série des modules $\sum |u_n|$ , qui est à termes positifs.
2
J'étudie la nature de $\sum |u_n|$ par les méthodes de comparaison (majoration, équivalent, négligeabilité, Riemann).
3
Si $\sum |u_n|$ converge, je conclus à la convergence absolue, donc à la convergence de $\sum u_n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la convergence de $\sum_{n \geq 1} \dfrac{(-1)^n}{n^2}$ .

Étape 1 —

Je forme la série des modules

\sum |u_n|

, qui est à termes positifs.

Je forme $\sum |u_n| = \sum \dfrac{1}{n^2}$ , série à termes positifs.

Étape 2 —

J'étudie la nature de

\sum |u_n|

par les méthodes de comparaison (majoration, équivalent, négligeabilité, Riemann).

C'est la série de Riemann d'exposant $2 > 1$ , donc convergente.

Étape 3 —

Si

\sum |u_n|

converge, je conclus à la convergence absolue, donc à la convergence de

\sum u_n

.

Donc $\sum (-1)^n/n^2$ converge absolument, donc converge.

La série converge (absolument).

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Comment étudier une série à termes quelconques (convergence absolue) ?

En montrant la convergence absolue ∑∣un∣\sum |u_n|∑∣un​∣

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant la convergence absolue $\sum |u_n|$