Comment ramener une équation… : En posant X=(y,y')^T et en écrivant le… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment ramener une équation scalaire d'ordre 2 à un système d'ordre 1 ?

En posant $X=(y,y')^T$ et en écrivant le système associé

Réécrire une équation linéaire d'ordre 2 $y''+by'+cy=0$ comme un système linéaire $X'=AX$ d'ordre 1 de taille 2, pour pouvoir lui appliquer les techniques de diagonalisation.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Ramener à un système d'ordre 1 l'équation $y''-3y'+2y=0$ .

L'objectif

Réécrire une équation linéaire d'ordre 2 $y''+by'+cy=0$ comme un système linéaire $X'=AX$ d'ordre 1 de taille 2, pour pouvoir lui appliquer les techniques de diagonalisation.

Le principe

Pour $y''+by'+cy=0$ (à coefficients constants), en posant $X(t)=\begin{pmatrix} y(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}$ , on a $X'(t)=\begin{pmatrix} y'(t) \\ y''(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y'(t) \\ -cy(t)-by'(t) \end{pmatrix}=AX(t)$ avec $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -c & -b \end{pmatrix}$ .

La méthode

1
Je pose le vecteur d'état $X(t)=\begin{pmatrix} y(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}$ et je calcule sa dérivée $X'(t)=\begin{pmatrix} y'(t) \\ y''(t) \end{pmatrix}$ .
2
J'utilise l'équation $y''=-cy-by'$ pour exprimer la 2ème composante de $X'$ comme combinaison linéaire de $y$ et $y'$ , ce qui donne $X'(t)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -c & -b \end{pmatrix}X(t)$ .
3
Je conclus que l'équation $y''+by'+cy=0$ équivaut au système $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -c & -b \end{pmatrix}$ ; le polynôme caractéristique de $A$ vaut $\lambda^2+b\lambda+c$ , qui est l'équation caractéristique de l'équation d'ordre 2.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Ramener à un système d'ordre 1 l'équation $y''-3y'+2y=0$ .

Étape 1 —

Je pose le vecteur d'état

X(t)=\begin{pmatrix} y(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}

et je calcule sa dérivée

X'(t)=\begin{pmatrix} y'(t) \\ y''(t) \end{pmatrix}

Je pose $X(t)=\begin{pmatrix} y(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}$ donc $X'(t)=\begin{pmatrix} y'(t) \\ y''(t) \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

J'utilise l'équation

y''=-cy-by'

pour exprimer la 2ème composante de

X'

comme combinaison linéaire de

y

y'

, ce qui donne

X'(t)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -c & -b \end{pmatrix}X(t)

L'équation donne $y''=3y'-2y$ , donc $X'(t)=\begin{pmatrix} y'(t) \\ 3y'(t)-2y(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}X(t)$ .

Étape 3 —

Je conclus que l'équation

y''+by'+cy=0

équivaut au système

X'=AX

avec

A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -c & -b \end{pmatrix}

; le polynôme caractéristique de

A

vaut

\lambda^2+b\lambda+c

, qui est l'équation caractéristique de l'équation d'ordre 2.

L'équation équivaut à $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ , et $\det(A-\lambda I)=\lambda^2-3\lambda+2$ retrouve l'équation caractéristique.

$X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment ramener une équation scalaire d'ordre 2 à un système d'ordre 1 ?

En posant X=(y,y′)TX=(y,y')^TX=(y,y′)T et en écrivant le système associé

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $X=(y,y')^T$ et en écrivant le système associé