Comment montrer l'indépendance mutuelle de $n$ variables aléatoires discrètes ?

En vérifiant que pour tout $(x_1,\dots,x_n)$ , $P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)=\prod_{i=1}^{n} P([X_i=x_i])$

L'objectif

Démontrer que $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes en vérifiant la factorisation de la loi conjointe.

Le principe

Par définition, $X_1,\dots,X_n$ discrètes sont mutuellement indépendantes si et seulement si pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in X_1(\Omega)\times\dots\times X_n(\Omega)$ , $P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)=\prod_{i=1}^{n}P([X_i=x_i])$ .

La méthode

1
Je précise les supports $X_i(\Omega)$ et je détermine les lois marginales $P([X_i=x_i])$ pour chaque indice $i$ .
2
Je calcule la loi conjointe $P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)$ pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in X_1(\Omega)\times\dots\times X_n(\Omega)$ , en utilisant l'expérience aléatoire ou un système complet d'événements adapté.
3
Je vérifie l'égalité $P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)=\prod_{i=1}^{n}P([X_i=x_i])$ pour tout $n$ -uplet, et je conclus à l'indépendance mutuelle.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En vérifiant que pour tout (x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n)(x1​,…,xn​), P ⁣(⋂i=1n[Xi=xi])=∏i=1nP([Xi=xi])P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)=\prod_{i=1}^{n} P([X_i=x_i])P(⋂i=1n​[Xi​=xi​])=∏i=1n​P([Xi​=xi​])

Exemple corrigé

En vérifiant que pour tout $(x_1,\dots,x_n)$ , $P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)=\prod_{i=1}^{n} P([X_i=x_i])$