Comment montrer l'indépendance… : En vérifiant que pour tout (x_1,…,x_n)… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment montrer l'indépendance mutuelle de $n$ variables aléatoires discrètes ?

En vérifiant que pour tout $(x_1,\dots,x_n)$ , $P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)=\prod_{i=1}^{n} P([X_i=x_i])$

Démontrer que $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes en vérifiant la factorisation de la loi conjointe.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance $n$ fois une pièce équilibrée de manière indépendante. Pour $i\in\{1,\dots,n\}$ , soit $X_i$ la variable de Bernoulli valant $1$ si le $i$ -ème lancer donne pile et $0$ sinon. Montrer que $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes.

L'objectif

Démontrer que $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes en vérifiant la factorisation de la loi conjointe.

Le principe

Par définition, $X_1,\dots,X_n$ discrètes sont mutuellement indépendantes si et seulement si pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in X_1(\Omega)\times\dots\times X_n(\Omega)$ , $P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)=\prod_{i=1}^{n}P([X_i=x_i])$ .

La méthode

1
Je précise les supports $X_i(\Omega)$ et je détermine les lois marginales $P([X_i=x_i])$ pour chaque indice $i$ .
2
Je calcule la loi conjointe $P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)$ pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in X_1(\Omega)\times\dots\times X_n(\Omega)$ , en utilisant l'expérience aléatoire ou un système complet d'événements adapté.
3
Je vérifie l'égalité $P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)=\prod_{i=1}^{n}P([X_i=x_i])$ pour tout $n$ -uplet, et je conclus à l'indépendance mutuelle.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je précise les supports

X_i(\Omega)

et je détermine les lois marginales

P([X_i=x_i])

pour chaque indice

i

Pour chaque $i$ , $X_i(\Omega)=\{0,1\}$ et $P([X_i=1])=P([X_i=0])=\tfrac{1}{2}$ .

Étape 2 —

Je calcule la loi conjointe

P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)

pour tout

(x_1,\dots,x_n)\in X_1(\Omega)\times\dots\times X_n(\Omega)

, en utilisant l'expérience aléatoire ou un système complet d'événements adapté.

Soit $(x_1,\dots,x_n)\in\{0,1\}^n$ . L'événement $\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]$ correspond à une suite particulière de pile/face fixée à l'avance ; comme les lancers sont indépendants, $P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n$ .

Étape 3 —

Je vérifie l'égalité

P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)=\prod_{i=1}^{n}P([X_i=x_i])

pour tout

n

-uplet, et je conclus à l'indépendance mutuelle.

Or $\prod_{i=1}^{n}P([X_i=x_i])=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n$ , donc l'égalité est vérifiée pour tout $(x_1,\dots,x_n)$ : les $X_i$ sont mutuellement indépendantes.

$X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes.

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Comment montrer l'indépendance mutuelle de nnn variables aléatoires discrètes ?

En vérifiant que pour tout (x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n)(x1​,…,xn​), P ⁣(⋂i=1n[Xi=xi])=∏i=1nP([Xi=xi])P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)=\prod_{i=1}^{n} P([X_i=x_i])P(⋂i=1n​[Xi​=xi​])=∏i=1n​P([Xi​=xi​])

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment montrer l'indépendance mutuelle de $n$ variables aléatoires discrètes ?

En vérifiant que pour tout $(x_1,\dots,x_n)$ , $P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)=\prod_{i=1}^{n} P([X_i=x_i])$