Comment étudier la monotonie de $(u_n)$ avec $f$ croissante ? | MetMat

Comment étudier la monotonie de $(u_n)$ avec $f$ croissante ?

En comparant $u_1$ à $u_0$ puis en propageant la monotonie par récurrence

Démontrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ est monotone lorsque $f$ est croissante sur un intervalle stable.

L'objectif

Démontrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ est monotone lorsque $f$ est croissante sur un intervalle stable.

Le principe

Si $f$ est croissante sur un intervalle $I$ stable par $f$ et que $u_0 \in I$ , alors la fonction conserve l'ordre : $u_1 \geq u_0 \Rightarrow (u_n)$ croissante, $u_1 \leq u_0 \Rightarrow (u_n)$ décroissante.

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $f$ est croissante sur un intervalle $I$ stable par $f$ contenant $u_0$ (ce qui assure $u_n \in I$ pour tout $n$ ).
Comment montrer qu'un intervalle $I$ est stable par $f$ ?Voir
2
Je calcule $u_1 = f(u_0)$ et je compare $u_1$ à $u_0$ pour déterminer le sens présumé de la monotonie.
3
Je démontre par récurrence sur $n$ que $u_{n+1} \geq u_n$ (resp. $\leq$ ), en utilisant la croissance de $f$ : $u_{n+1} \geq u_n \Rightarrow f(u_{n+1}) \geq f(u_n)$ , soit $u_{n+2} \geq u_{n+1}$ .
4
Je conclus que $(u_n)$ est monotone (croissante ou décroissante selon le signe de $u_1 - u_0$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . Étudier la monotonie de $(u_n)$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

f

est croissante sur un intervalle

I

stable par

f

contenant

u_0

(ce qui assure

u_n \in I

pour tout

n

Posons $f(x) = \sqrt{x+2}$ : $f$ est croissante sur $[0, 2]$ et $[0, 2]$ est stable par $f$ (car $f([0, 2]) = [\sqrt{2}, 2] \subset [0, 2]$ ). Comme $u_0 = 0 \in [0, 2]$ , tous les $u_n$ sont dans $[0, 2]$ .

Étape 2 —

Je calcule

u_1 = f(u_0)

et je compare

u_1

u_0

pour déterminer le sens présumé de la monotonie.

$u_1 = f(0) = \sqrt{2} \approx 1{,}41 > 0 = u_0$ , donc on conjecture que $(u_n)$ est croissante.

Étape 3 —

Je démontre par récurrence sur

n

que

u_{n+1} \geq u_n

(resp.

\leq

), en utilisant la croissance de

f

u_{n+1} \geq u_n \Rightarrow f(u_{n+1}) \geq f(u_n)

, soit

u_{n+2} \geq u_{n+1}

Récurrence : $u_1 \geq u_0$ (vrai). Si $u_{n+1} \geq u_n$ , alors par croissance de $f$ , $f(u_{n+1}) \geq f(u_n)$ , soit $u_{n+2} \geq u_{n+1}$ .

Étape 4 —

Je conclus que

(u_n)

est monotone (croissante ou décroissante selon le signe de

u_1 - u_0

Donc $(u_n)$ est croissante.

$(u_n)$ est croissante.

Application guidée

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . Étudier la monotonie de $(u_n)$ .

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{3}{u_n}\right)$ . Étudier la monotonie de $(u_n)$ à partir du rang 1.

Application autonome 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{1 + u_n}{2}$ . Étudier la monotonie de $(u_n)$ .

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n}$ . Étudier la monotonie de $(u_n)$ .

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En comparant u1u_1u1​ à u0u_0u0​ puis en propageant la monotonie par récurrence

Pour comprendre, fais des exercices !

En comparant $u_1$ à $u_0$ puis en propageant la monotonie par récurrence