Comment étudier la monotonie de $(u_n)$ avec $f$ croissante ?

Posons $f(x) = \sqrt{x+2}$ : $f$ est croissante sur $[0, 2]$ et $[0, 2]$ est stable par $f$ (car $f([0, 2]) = [\sqrt{2}, 2] \subset [0, 2]$). Comme $u_0 = 0 \in [0, 2]$, tous les $u_n$ sont dans $[0, 2]$.

$u_1 = f(0) = \sqrt{2} \approx 1{,}41 > 0 = u_0$, donc on conjecture que $(u_n)$ est croissante.

Récurrence : $u_1 \geq u_0$ (vrai). Si $u_{n+1} \geq u_n$, alors par croissance de $f$, $f(u_{n+1}) \geq f(u_n)$, soit $u_{n+2} \geq u_{n+1}$.

Donc $(u_n)$ est croissante.